题目内容
（1）下面的（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图．数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表（按填好的样子做）．
（2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
（3）现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．
| 顶点数 | 边数 | 区域数 | |
| （a） | 4 | 6 | 3 |
| （b） | |||
| （c） | |||
| （d） |
（3）现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．
分析：根据组合图形的计数方法，分别计算每个图形的顶点、边数、围成的区域即可．
解答：解：（1）填表如下：
（2）由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：
4+3-6=1
8+5-12=1
6+4-9=1
10+6-15=1
所以，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：顶点数+区域数-边数=1．
（3）由上面所给的关系，可知所求平面图的边数．
边数=顶点数+区域数-1
=999+999-1
=1997（条）；
注：本题第二问中的推断是正确的，也就是说任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系．当然，平面图有许许多多，且千变万化，然而不管怎么变化，顶点数加区域数再减边数，最后的结果永远等于1，这是不变的．因此，顶点数+区域数-边数=1；就称为平面图的不变量（有时也称为平面图的欧拉数--以数学家欧拉的名字命名）．
答：（2）一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系是：边数=顶点数+区域数-1；（3）根据以上关系确定这个图有1997条边．
| 顶点数 | 边数 | 区域数 | |
| （a） | 4 | 6 | 3 |
| （b） | 8 | 12 | 5 |
| （c） | 6 | 9 | 4 |
| （d） | 10 | 15 | 6 |
4+3-6=1
8+5-12=1
6+4-9=1
10+6-15=1
所以，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：顶点数+区域数-边数=1．
（3）由上面所给的关系，可知所求平面图的边数．
边数=顶点数+区域数-1
=999+999-1
=1997（条）；
注：本题第二问中的推断是正确的，也就是说任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系．当然，平面图有许许多多，且千变万化，然而不管怎么变化，顶点数加区域数再减边数，最后的结果永远等于1，这是不变的．因此，顶点数+区域数-边数=1；就称为平面图的不变量（有时也称为平面图的欧拉数--以数学家欧拉的名字命名）．
答：（2）一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系是：边数=顶点数+区域数-1；（3）根据以上关系确定这个图有1997条边．
点评：此题主要考查了计数方法的应用，根据四个不同的图形分别列举得出是解题的关键．
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