题目内容

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M。
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（直接写出结论，不必证明）。

（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，又∵点N与点G重合，点M与点C重合，∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH ∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°，∴FM⊥HM ；（2）证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点∴MD∥BC，且MD = BC = BF； MB∥CD，且MB=CD=DH∴四边形BCDM是平行四边形∴ ∠CBM =∠CDM又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH∴△FBM ≌ △MDH∴FM = MH，且∠MFB =∠HMD又∵MD∥BC，∴∠FMD=∠APM∴∠FMH =∠FMD-∠HMD =∠APM-∠MFB =∠FBP = 90°∴△FMH是等腰直角三角形；（3）解：△FMH是等腰直角三角形。