Question

给定一条长度为2013米的硬塑料管，请你按下列要求把它裁断（三个要求同时满足）：

（1）每段长都是整数米；
（2）任意三段为边长都不能 构成三角形；
（3）最长的一段尽可能的长．
请问：最多可以裁成多少段？说出你的裁截思路与结果．

Answer 1

考点：裴波那契数列

专题：传统应用题专题

分析：由于任何三段为边长都不能构成三角形，即任何三段中，必有两段之和小于或等于第三段，要使最长一段尽可能长，又要求分出尽可能多的段数，所以最小长度应该尽可能的小，最小为1，第二段仍然为1，第三段不能继续为1，否则前三段可以构成一个三角形，而且第三段也不超过前两段之和，故取等于前两段之和为最好，即为2；同样的理由，以后每一段都取前两段之和．据此按构成了“斐波那契数列”．

解答： 解：由于任何三段为边长都不能构成三角形，即任何三段中，必有两段之和小于或等于第三段，要使最长一段尽可能长，又要求分出尽可能多的段数，
所以最小长度应该尽可能的小，最小为1，第二段仍然为1，第三段不能继续为1，否则前三段可以构成一个三角形，而且第三段也不超过前两段之和，
故取等于前两段之和为最好，即为2；同样的理由，以后每一段都取前两段之和．
如此取得1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377；
此时已经截取的总长度为986，若下一段继续取前两段之和610，则最后剩下2013-610-986=417，这一段与233、377便构成一个三角形．
为使得任何三段都不构成三角形，截取总长度为986之和后剩余的部分不能再分割．故最后一段取2013-986=1027．
所以应该裁成长度分别为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、1027的15段．

点评：本题结合三角形的特性考查了斐波那契数列的灵活应用．