Question

分母是1001的最简真分数有

720

个．

Answer 1

分析：解答此题首先把1001分解质因数，用质因数分别除1001算出不是最简真分数（质因数的倍数为分子的不是最简真分数）的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从总个数中减去，再加上以1001为分子的1个，从1001中减去不是最简真分数的总个数即为分母是1001的最简真分数的个数．

解答：解：分解质因数：1001=7×11×13；
1～1001中，有7的倍数[

1001

7

]=143（个），有11的倍数[

1001

11

]=91（个），有13的倍数[

1001

13

]=77（个）；有7×11=77的倍数[

1001

77

]=13（个），有7×13=91的倍数[

1001

91

]=11（个），有11×13=143的倍数[

1001

143

]=7（个），有1001的倍数1个．
由容斥原理知：在1～1001中能被7或11或13整除的数有（43+91+7）-（13+11+7）+1=281（个），从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）．也就是说，分母为1001的最简分数有720个．

点评：本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识．