Question

有一个底角为60°腰长为15cm，下底长是上底长2倍的等腰梯形，把两腰平均分成30份，然后把对应等分点连起来，这些线段总长是多少cm？

Answer 1

分析：由题意及图，我们可以设想做一条辅助线，取下底BC中点E，连接AE，则BE=AD=

1

2

BC=AB，又因为∠ABC=60度，则△ABE是等边三角形；且四边形AECD是平行四边形且是菱形． 在梯形ABCD的两腰上，分成30等分，连接两腰的对应等分点，在平行四边形ABCE内，对应等分点连起来的这些（包括上下底）线段总长是：（30+1）×15=31×15 （cm）；这些对应等分点连起来的这些线段，处于△ABE内的部分总长是：[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15 （cm）．那么，把这两部分相加的和即为所求．如图：

解答：解：如图，

取下底BC中点E，连接AE，由题意则BE=AD=BC÷2=AB=15cm，又因为∠ABC=60°，
则△ABE是等边三角形；且四边形AECD是平行四边形且是菱形．
在梯形ABCD的两腰上，分成30等分，连接两腰的对应等分点，在平行四边形ABCE内，对应等分点连起来的这些（包括上下底）线段总长是：
（30+1）×15=31×15（cm）；
处于△ABE内的这些对应等分点连起来的这些线段总长是：
[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15 （cm）．，
其中，（30/30）×15 cm是△ABE的底边，
则，对应等分点连起来形成的这些线段总长是：
31×15+[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15
=31×15+

30+29+28+…+3+2+1

30

×15
=465+

(1+30)×30÷2

30

×15
=465+

465

2

=697.5 （cm）
答：这些线段总长697.5cm．

点评：本题是一个难度较高的等差数列应用题，综合考查了等差数列求和，等腰梯形、等边三角形的性质等知识点．