Question

【题目】平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？

Answer 1

【答案】22

【解析】

1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．以此类推，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为：2+1×2+2×2+…+(n-1)×2

=2+2［1+2+…+(n-1)］

=n2-n+2．

1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．

同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．

所以，5个圆最多将平面分成22个部分．