题目内容
在如图中，有六个不同的正方形，把1-9九个自然数填入九个○内，使每个正方形的四个顶点上的和相等．分析：为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如下图所示．如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：
a1+a2+b1+b2=S，a2+b2+a3+b3=S，
b1+b2+c1+b2=S，a2+b3+b2+b1=S，
b2+b2+b3+c3=S，a1+a3+c3+c1=S．
将上面的六个等式相加可得到：
2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S．则4b2=S
4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S．
于是有：
4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S．
9S=4×45
S=20．
这就说明每个正方形角上四个数字之和为20．
所以：b2=5．
从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，
b1+c1+b2=b2+c3+b3=15．
由上面两式可得：a1+b1=a3+b3，b1+c1=b3+c3．
如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数．
①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数．因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数．但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾．
②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数．因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾．
③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾．
④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同．
综合上述，a2必为偶数．由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数．因此a1、a3、c3、c1全为奇数．
这样，就比较容易找到此解．
a1+a2+b1+b2=S，a2+b2+a3+b3=S，
b1+b2+c1+b2=S，a2+b3+b2+b1=S，
b2+b2+b3+c3=S，a1+a3+c3+c1=S．
将上面的六个等式相加可得到：
2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S．则4b2=S
4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S．
于是有：
4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S．
9S=4×45
S=20．
这就说明每个正方形角上四个数字之和为20．
所以：b2=5．
从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，
b1+c1+b2=b2+c3+b3=15．
由上面两式可得：a1+b1=a3+b3，b1+c1=b3+c3．
如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数．
①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数．因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数．但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾．
②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数．因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾．
③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾．
④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同．
综合上述，a2必为偶数．由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数．因此a1、a3、c3、c1全为奇数．
这样，就比较容易找到此解．
解答：解：根据题意可得：
点评：本题的关键是把中心点的数确定，然后再从奇偶去考虑解答即可．
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