Question

定义：a_n=

1 n

(1+ 1 1 )×(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )×(1+ 1 n )

．
（1）求出a₁，a₂，a₁₀₀，a₂₀₀的大小；
（2）计算：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a100

．

Answer 1

考点：定义新运算

专题：计算问题（巧算速算）

分析：（1）将1，2，100，200分别代入a_n=

1 n

(1+ 1 1 )×(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )×(1+ 1 n )

计算即可求解；
（2）通过观察，把原式变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+…+99×（99+1）+100×（100+1），然后把各项展开，得到1²+1+2²+2+3²+3+…+99²+99+100²+100，再把平方数余平方数相加，其余数相加，然后运用公式1²+2²+3²+…+n²=n（n+1）（2n+1）÷6，解决问题．

解答： 解：（1）a₁=

1 1

1+ 1 1

=

1

2

a₂=

1 2

(1+ 1 1 )(1+ 1 2 )

=

1 2

3

=

1

6

a₁₀₀=

1 100

(1+ 1 1 )(1+ 1 2 )+…+(1+ 1 100 )

=

1 100

101

=

1

10100

a₂₀₀=

1 200

(1+ 1 1 )(1+ 1 2 )+…+(1+ 1 200 )

=

1 200

201

=

1

40200

；
（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a100

=1×2+2×3+3×4+4×5+…+100×101
=（1²+1）+（2²+2）+（3²+3）+…+（100²+100）
=（1²+2²+3²+…+100²）+（1+2+3+…+100）
=

100×(100+1)×(2×100+1)

6

+

100×(100+1)

2

=338350+5050
=343400．

点评：考查了定义新运算，解答（2）的关键是通过仔细观察，把原式变形，运用公式1²+2²+3²+…+n²=n（n+1）（2n+1）÷6，解决问题．