题目内容

下面的算式是按某种规律排列的：
1+1，2+3，3+5，4+7，5+9，1+11，2+13，3+15，4+17，5+19，1+21，…
（1）第2003个算式是什么？
（2）是否存在某个算式，其结果是2003．若存在，请写出这个算式，若不存在，请说明理由．

解：（1）第1个加数依次为1、2、3、4、5，1、2、3、4、5…每5个数循环一次，重复出现．2003÷5=400…3，所以第2003个算式的第1个加数是3．第二个加数依次为1，3，5，7，9，11…是公差为2的等差数列．根据等差数列的通项公式可求出第2003个算式的第3个加数为1+（2003-1）×2=4005，所以第2003个算式是3+4005．
答：第2003个算式是3+4005．
（2）由于每个算式的第2个加数都是奇数，所以和是2003的算式的第1个加数一定是偶数，不会是1、3和5．只有2+x=2003或4+x=2003．其中x是1、3、5、7、9…中的某个数．
若2+x=2003，则x=2001．根据等差数列的项数公式得：（2001-1）÷2+1=1001，这说明2001是数列1、3、5、7、9…中的第1001个数，因为1001÷5=200…1，说明第1001个算式的第1个加数是1，与假设矛盾，所以x≠2001；
若4+x=2003，则x=1999．与上同理，（1999-1）÷2+1=1000，说明1999是等差数列1、3、5、7、9…中的第1000个数，由于1000÷5=200，说明第1000个算式的第一个加数是5，与假设矛盾，所以x≠1999．
综上所述，不存在某个算式，其结果是2003．
分析：（1）根据算式的规律，探寻出第2003个算式的第1个加数是3，第二个加数依次为1，3，5，7，9，11…是公差为2的等差数列．然后根据等差数列的通项公式求出第2003个算式的第2个加数，最后加上3即可；
（2）由式的规律，知道每个算式的第2个加数都是奇数，和是2003的算式：第1个加数一定是偶数，不会是1、3和5，那么可能是2或4，然后分这两种情况分析讨论，得出结果．
点评：此题考查了探索规律的能力，以及分析问题的能力，同时考查了有关等差数列的知识．