题目内容
分母是3553的最简真分数的和是 ．
考点：约数个数与约数和定理,最简分数
专题：整除性问题
分析：解答此题要先把3553分解质因数，计算出分母是3553的不是最简真分数（分子是质因数的倍数的均不是最简真分数）的个数，即用质因数分别除3553算出个数，减去重复的即为真分数的个数，每对真分数是成对出现的和为1，除以2即为和．
解答：
解：因为3553=19×17×11，在1～385这385个自然数中，
19的倍数有17×11=187个，
17的倍数有19×11=209个，
11的倍数有17×19=323个，
19×17=323的倍数有11个，
19×11=209的倍数有17个，
17×11=77的倍数有19个，
3553的倍数有1个．
由容斥原理知，在1～3553中能被19、17或11整除的数有187+209+323-（11+17+19）+1=673个，而19、17、11互质的数有3553-673=2880个
即分母为3553的真分数有2880个．
如果有一个真分数为
，则必还有另一个真分数
，即以3553为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．
故以3553为分母的2880最简分数可以分成1440对，它们的和为1440．
故答案为：1440．
19的倍数有17×11=187个，
17的倍数有19×11=209个，
11的倍数有17×19=323个，
19×17=323的倍数有11个，
19×11=209的倍数有17个，
17×11=77的倍数有19个，
3553的倍数有1个．
由容斥原理知，在1～3553中能被19、17或11整除的数有187+209+323-（11+17+19）+1=673个，而19、17、11互质的数有3553-673=2880个
即分母为3553的真分数有2880个．
如果有一个真分数为
| a |
| 3553 |
| 3553-a |
| 3553 |
故以3553为分母的2880最简分数可以分成1440对，它们的和为1440．
故答案为：1440．
点评：此题主要考查数的倍数，分解质因数，最简分数以及容斥原理运用方面的知识．
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中，形成一个带分数，求满足条件的最大带分数与最小带分数之差（ ）
| 囗 |
| 囗 |
A、4
| ||
B、4
| ||
C、4
| ||
D、4
| ||
E、4
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