Question

在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？

Answer 1

考点：不定方程的分析求解

专题：传统应用题专题

分析：要想获奖至少需要投中的次数必须尽量投中17分和11分，然后利用整数的裂项与拆分，把100和120分两种情况讨论解答即可．

解答： 解：（1）100÷17=5…15，
所以，100=5×17+11+4，
可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的1次；
要想获奖至少需要投中：5+1+1=7（次）；
所以，100=4×17+11×2+4×2+2没有能组成2分的区域，
所以，100=3×17+11×3+4×4，
可得：投中17分的3次，投中11分的3次，投中4分的4次，
要想获奖至少需要投中：3+4+3=10（次）；
继续拆分：100=17×2+11×6，
可得：投中17分的2次，投中11分的6次，
要想获奖至少需要投中：6+2=8（次）；
综合上述，至少需要7次．
答：要想获奖至少需要投中7个飞镖．

（2）120÷17=7…1，
所以，120=7×17+1，没有1分的区域，
所以，120=6×17+17+1=6×17+18，没有能组成18分的区域，
所以，120=5×17+17×2+1=5×17+35=5×17+4×6+11，
可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的6次，
要想获奖至少需要投中：5+1+6=12（次）；
继续拆分：120=17×4+11×4+4×2，
可得：投中17分的4次，投中11分的4次，投中4分的2次，
要想获奖至少需要投中：4+4+2=10（次）；

120÷11=10…10，
所以，120=10×11+10，没有能组成10分的区域，
120=10×11+10=9×11+11+10=9×11+21=9×11+17+4；
可得：投中11分的9次，投中17分的1次，投中4分的1次，
要想获奖至少需要投中：9+1+1=11（次）；
答：要想获奖至少需要投中10个飞镖．

点评：本题属于数字问题中的整数的裂项与拆分，就是通过拆分把100和120尽量用较大的数表示出来，把余数用较小的数表示，通过不断的调整得出符合要求的结论．