Question

许多美丽的图案都是将图形按一定的规律排列而成的．现用若干个相等的圆在长方形纸带上设计图案，每个圆都经过前一个圆的圆心（如图所示），若每个圆的周长为8πcm，请你回答下列问题：

（1）若整个图案需要5个这样的圆，则至少需要

24

cm长的纸带；若整个图案需要x个这样的圆，则所需的纸带长至少为

r+rx

cm（用含有x的式子表示）．
（2）要在一个长为105cm的纸带上设计这样的图案，请通过计算说明最多可用多少个圆？
（3）在（2）的条件下，若把前两个圆的重合部分面积记为S₁，且S₁是其中一个圆面积的

5

16

，求所设计的图案中相邻两圆重合部分面积总和比整个图案面积少几分之几．

Answer 1

分析：（1）根据圆的周长公式C=2πr，得出r=C÷π÷2，求出圆的半径，从图中看出所需要的长方形的纸的长是随着增加的圆的个数变化的，每增加一个圆，纸带的长就增加一个半径，若整个图案需要x个这样的圆，则所需的纸带长至少为2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx，据此解答；
（2）因为纸带的长度与圆的个数的关系是r+rx，所以让r+rx=105，求出x的最大整数解即可；
（3）图案的面积是每增加一个圆面积就增加（1-

5

16

），用整个图案面积减去设计的图案中相邻两圆重合部分面积总和再除以整个图案面积即可．

解答：解：（1）8π÷π÷2=4（厘米）
4×2+4×（5-1）
=8+16
=24（厘米）
若整个图案需要x个这样的圆，
所需的纸带长至少为：2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx（厘米），

（2）最多可用x个圆，
rx+r=105
4x+4=105
  4x=101
   x=

101

4

，
所以最多可以用25个圆；
答：最多可用25个圆．

（3）[1+（1-

5

16

）×24-（25-1）×

5

16

]÷[1+（1-

5

16

）×24]，
=（1+9）÷

35

2

=

4

7

答：所设计的图案中相邻两圆重合部分面积总和比整个图案面积少

4

7

．
故答案为：24，r+rx，25．

点评：关键是根据题意找出每增加一个圆，纸带的长度和图案的面积发生变化的规律，再由规律解决问题．