Question

将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值．

Answer 1

分析：将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，要考虑剪去的最少，还要求仍然是正方形，则有下列剪法是比较大的，其他剪法更小．分别求出三种情况下剪成的正方形铁皮的面积，比较大小，求出最大值，即可得解．

解答：解：如图1所示，使A’B=BC’=C’D’=D’A’=12-3=9（厘米），则正方形A’BC’D’的面积为9×9=8l（平方厘米）．
如图2所示，使AA’=BB’=CC’=DD‘=3（厘米），则正方形A’B’C’D’的面积为
12×12-4×

1

2

×3×（12-3）=90（平方厘米）．
如图3所示，连接AC交曲线于点A’，使A’B’=B’C=CD’=D’A’．观察图3可知
A’B’=12-1.5=10.5（厘米）．（注：A’B’的长度在（10.5士0.2）厘米之间均可．连接AC与缺损的边缘交与A'点，过A'分别作AB和AD的平行线A'B'和A'D'，A'D'延长与AB交与一点H，A'H是缺损三角形的中位线，根据中位线的性质，同样平分另一边，因此AH的长是3除以2等于1.5，A'B'=BH=AB-AH=12-1.5=10.5，当然，这只是一个近似值）
于是正方形A’B’CD’的面积为10.5×10.5=110.25（平方厘米）．

因为81＜90＜110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．
答：剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．

点评：此题考查了最大和最小问题，剪成的正方形铁皮的面积最大，则材料的应用最节约．在生活实际中要求我们要多动脑筋．