题目内容
有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：
第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形，…，依此操作下去．
（1）通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m）填入表中．
| 次数（n） | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | … | 第n次 |
| 正方形总个数（m） |
解：（1）根据题干分析可得：第一次划分，得出5个正方形，可以写成1×4+1；
第2次划分，根据图形得出共有9个正方形；可以写成2×4+1；
第3次划分，可得出13个正方形，可以写成3×4+1；
第4次划分，可得出17个正方形，可以写成4×4+1；
依题意得：第n次划分后，图中共有4n+1个正方形；由此即可完成表格如下：
（2）因为第n次划分后，图中共有4n+1个正方形，
所以可得4n+1=103，则n=
，方程没有整数解，所以不能得到2011个正方形．
分析：本题需先根据图形，得出第2次划分共有多少个正方形，找出规律，得出n个的时候有多少个，从而得出结果．
点评：本题主要考查了图形的变化类问题，在解题时要根据已知条件，找出规律是解题的关键．
第2次划分，根据图形得出共有9个正方形；可以写成2×4+1；
第3次划分，可得出13个正方形，可以写成3×4+1；
第4次划分，可得出17个正方形，可以写成4×4+1；
依题意得：第n次划分后，图中共有4n+1个正方形；由此即可完成表格如下：
（2）因为第n次划分后，图中共有4n+1个正方形，
所以可得4n+1=103，则n=
，方程没有整数解，所以不能得到2011个正方形．分析：本题需先根据图形，得出第2次划分共有多少个正方形，找出规律，得出n个的时候有多少个，从而得出结果．
点评：本题主要考查了图形的变化类问题，在解题时要根据已知条件，找出规律是解题的关键．
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