Question

18．如图，若干个1立方厘米的小正方体按一定的规则拼成大立体图形，观察并思考：
（1）如图，当拼到第四层时，这个立体图形的体积是16立方厘米，表面积是47平方厘米；
（2）当拼到第七层，一共用了49个小正方体；
（3）如果最后一层的小正方体有19个，那么这个大立体图形一共有10层；
（4）当拼到n层时，这个立体图形的表面积是2n²+4n+7平方厘米．．

Answer 1

分析 （1）因为小正方体的体积是1立方厘米，所以四层立体图形有几个正方体就是几立方厘米；当拼到第四层时露出5个面的正方体有1个，露出4个面的有6个，露出2个面的有9个，每个面的面积是1平方厘米；
（2）观察得知从第一层开始正方体的个数分别是1，3，5，7，9…，利用高斯求和公式计算；
（3）因为相邻的层数相差2个正方体，如果最后一层的小正方体有19个，那么这个大立体图形一共有（19+1）÷2层
（4）由第一问可以推出排在中间的都露出2个面，每层边上的正方体都露出4个面，最上层的1个正方体是露出5个面，据此解答．

解答 解：（1）1+3+5+7=16（立方厘米）
1×（4×6+9×2+5）
=1×（24+18+5）
=47（平方厘米）
答：当拼到第四层时，这个立体图形的体积是16立方厘米，表面积是47平方厘米；
（2）1+3+5+7+9+11+13
=（1+13）×7÷2
=49（个）
答：当拼到第七层，一共用了49个小正方体；
（3）（19+1）÷2
=20÷2
=10（层）
答：如果最后一层的小正方体有19个，那么这个大立体图形一共有10层；
（4）第n层是：
2（n-1）+1=2n-1（个）
总个数：
（1+2n-1）×n÷2
=n×n
=n²（个）
5+2（n-1）×4+（n²-1-2n+2）×2
=5+8n-8+2n²-4n+2
=2n²+4n+7（平方厘米）
答：当拼到n层时，这个立体图形的表面积是2n²+4n+7平方厘米．
故答案为：16，47；49；10；2n²+4n+7平方厘米．

点评 解答本题的关键是：找出第1到n-1层两边的正方形都只露出4个面，第n层露出5个面，其它的正方体都露出2个面．