题目内容
【题目】已知圆C1：x2＋y2＝r2截直线x＋y－
＝0所得的弦长为
.抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在圆C1上.
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．
【答案】(1)x2＝4y．(2)x－y＋1＝0．
【解析】试题分析：（1）由题意，圆心到直线
的距离
，结合弦长求半径，从而得到焦点的坐标，进而写出拋物线
的方程；（2）设直线
的方程为
，设
，直线方程与
联立方程化简得到
，从而利用韦达定理得到
，再由两条切线互相垂直及导数的几何意义可得
，从而解出
，进而写出直线的方程.
试题解析：(1)易求得圆心到直线的距离为
，
所以半径r＝
＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，
)在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，
所以x2＝4y．
(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，
B(x1，y1)，C(x2，y2)．
将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，
∴x1x2＝－4k．
因为抛物线y＝
，所以y′＝
，
所以两条切线的斜率分别为
、
，
所以·＝－1＝
，所以k＝1．
故所求直线方程为x－y＋1＝0．
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