5．(2010·茂名模拟)如图5所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，

有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一

质量为m＝0.2 kg的小球，小球沿斜面做圆周运动．若要小球

能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是　　 (　) 　　　　图5

A．2 m/s　　　　　B．2 m/s

C．2 m/s　 　　　　　　　　　　　 D．2 m/s

解析：通过A点的最小速度为v_A＝＝2 m/s，则根据机械能守恒定律得：mv_B²

＝mv_A²+mgL，解得v_B＝2 m/s，即C选项正确．

答案：C

4．如图4所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触

面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍．A、B分别为

大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点．则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　) 　　　　图4

A．两轮转动的角速度相等

B．大轮转动的角速度是小轮的2倍

C．质点加速度a_A＝2a_B

D．质点加速度a_B＝4a_C

解析：两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，v_A＝v_B，而r_A＝2r_B，故ω_A＝ω_B，

A、B错误；由a_n＝得＝＝，C错误；由a_n＝ω²r得＝＝2，则＝4，D

正确．

答案：D

3．(2010·临沂模拟)如图3所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁

质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其

保持竖直并沿水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度

大小合适，螺丝帽恰好不下滑．假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为

μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转动塑料管　　 图3

使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡

B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心

C．此时手转动塑料管的角速度ω＝

D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动

解析：由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦

力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mg＝F_f＝μF_N＝

μmω²r，得ω＝ ，选项A正确、B、C错误；杆的转动速度增大时，杆对螺丝

帽的弹力增大，最大静摩擦力也增大，螺丝帽不可能相对杆发生运动，故选项D

错误．

答案：A

2．如图2所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水

平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，

AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴

OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，

当转轴的角速度逐渐增大时　　　　　　　　　 (　)　　　　　 图2　

A．AC先断　 　　　　　　　　　　　　 B．BC先断

C．两线同时断　 　　　　　　　　　 D．不能确定哪根线先断

解析：对A球进行受力分析，A球受重力、支持力、拉力F_A三个力作用，拉力的分

力提供A球做圆周运动的向心力，得：

水平方向F_Acosα＝mr_Aω²，

同理，对B球：F_Bcosβ＝mr_Bω²，

由几何关系，可知cosα＝，cosβ＝.

所以：＝＝＝.

由于AC>BC，所以F_A>F_B，即绳AC先断．

答案：A

1．如图1所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A

的吊绳较短，系B的吊绳较长．若天车运动到P处突然停止，则

两吊绳所受的拉力F_A和F_B的大小关系为　　　　　　　　　　　 (　)

A．F_A>F_B　　　　　　　 B．F_A<F_B 图1

C．F_A＝F_B＝mg　 　　　 D．F_A＝F_B>mg

解析：天车运动到P处突然停止后，A、B各以天车上的悬点为圆心做圆周运动，线

速度相同而半径不同，由F－mg＝m，得：F＝mg+m，因为m相等，v相等，

而L_A<L_B，所以F_A>F_B，A选项正确．

答案：A

(三)　 解答题

17、(10分)已知无穷数列{a_n}存在极限，且，求。

18、(12分)设函数，求的值。

19、(12分)已知曲线C₁：y=ax²上点P处的切线为₁，曲线C₂：y=bx³上点A(1，b)处的切线为₂，且₁⊥₂，垂足M(2，2)，求a、b的值及点P的坐标。

20、(12分)求函数f(x)=p²x²(1-x)^p(p∈N₊)，在[0，1]内的最大值。

21、(14分)证明双曲线xy=a²上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数。

22、(14分)已知曲线S：y=x³+px²+qx的图象与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p、q的值。

(二)　 填空题(每小题4分，共16分)

13、若，则a=______，b=______。

　　 14、已知偶函数f(x)在(0，+∞)内满足f’(x)>0，f(0)>0，则=__________。

15、抛物线y=x²上点切线和直线3x-y+1=0的交角为45⁰，则点P坐标为__________。

　　 16、两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________。

(一)　 选择题(每小题5分，共60分)

1、　 等差数列中，若存在，则这样的数列

A、　 有且仅有一个　　 　　 B、有无数多个　　 　　　 C、有一个或无穷多个　　 　　 D、不存在

2、　 已知，如果bc≠0，那么=

A、　 15　　　　　　　 　　 B、　　　　　　 　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、

3、　 若r为实常数，则集合

A、恰有一个元素　　 　　 B、恰有两个元素　 　　　 C、恰有三个元素　 　　　　　 D、无数多个元素

4、的值

A、2　　　　　　　　 　　 B、1　　　　　　　 　　　 C、0　　　　　　 　　　　 　　 D、不存在

5、函数y=(x²-1)³+1在x=-1处

A、　 有极大值　　 　　　　 B、无极值　　　 　　　　 C、有极小值　　 　　　　　　 D、无法确定极值情况

6、　 f(x)=ax³+3x²+2，f’(-1)=4，则a=

A、　　　　　 　　　 B、　　　　　 　　　　　　 C、　　　　　 　　　　　　　　 D、

7、过抛物线y=x²上的点M()的切线的倾斜角是

A、30⁰ 　　　　　　　　 B、45⁰　　　　　 　　　　 C、60⁰　　　　　 　　　　　　 D、90⁰

8、函数f(x)=x³-6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是

A、　 A、(0，1)　　 　　　 B、(-∞，1)　　 　　　　 C、(0，+∞)　　 　　　　　　 D、(0，)

9、　 函数y=x³-3x+3在[]上的最小值是

A、　 　　　　　　　　　 B、1　　　　　　　 　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、5

　　 10、若f(x)=x³+ax²+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则

A、c≠0　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B、当a>0时，f(0)为极大值

C、b=0　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 D、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x³+ax²+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是

A、(2，3)　　　 　　　 B、(3，+∞)　　　 　　　 C、(2，+∞)　　　 　　　　 D、(-∞，3)

12、方程6x⁵-15x⁴+10x³+1=0的实数解的集合中

A、至少有2个元素　　　 B、至少有3个元素　　　 C、至多有1个元素　　　　 　 D、恰好有5个元素

2、当a<0时，f(x)在上单调递增；在(-∞，，，+∞)上单调递减。

例6、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积？

解题思路分析：

设容器底面短边长为xm，另一边长为(x+0.5)m，高为(3.2-2x)m

∵ 3.2-2x>0，x>0

∴ 0<x<1.6

设容器的容积为ym³

　 y=x(x+0.5)(3.2-2x)

∴ y=-2x³+2.2x²+1.6x

∴ y’=-6x²+4.4x+1.6

令y’=0得x=1，x=(舍)

∵ y在(0，1.6)内只有一个驻点x=1，而x过小或过大时，y值很小

∴ 当x=1时，y_max=1.8，此时高为1.2

例1、　 求下列极限

　 (1)　 (2))

解题思路分析：

(1)因分子及分母的次数随n增大而增加，故不能利用运算性质。先求和化简。

∴

(2)当x→1时，及均无意义，应约去因式x-1

∵

∴

说明：函数在x=1 无定义，但与存在无关。一般地有下列结论：如果f(x)=x₀处无定义，g(x)在x=x₀处有定义并存在极限，且当x≠x₀时，f(x)=g(x)，则。

例2、设函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

解题思路分析：

　 P(0，d)

∵ 曲线在点P处切线为12x-y-4=0

∴ x=0时，y=d

∴ d=-4

∵ y’=3ax²+2bx+c

∴ y’|_x=0=c

又切线斜率k=12

∴ c=12

又函数在x=2处取得极值0

∴

∴

∴

∴ 函数解析式y=2x³-9x²+12x-4

例3、偶函数f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)求y=f(x)的极大(小)值。

解题思路分析：

∵ f(x)是偶函数

∴ b=d=0

又图象过P(0，1)

∴ e=1

此时f(x)=ax⁴+cx²+1

∵ y’=4ax³+2cx

∴ y’|_x=1=4a+2c=1　　　　　 ①

又切点(1，-1)在曲线上

∴ a+c+1=-1　　　　　　　　 ②

由①②得：

∴ f(x)=

　 (2)f’(x)=10x³-9x=0

∴ x=0，x=

列表可得：时，f(x)_极小=

　　　　　 x=0时，f(x)_极大=1

例4、曲线上哪一点的法线在y轴上截距最小？(法线是指过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线)

解题思路分析：

在曲线上任取一点(x₀，y₀)，则过该点切线的斜率为k=2x₀⁵

∴ 法线的斜率为

∴ 法线方程y-y₀=

令x=0，使法线在y轴上的截距

∴

令y’=0，得x₀=±1

当x₀<-1时，y’<0，∴y单调递减

当-1<x₀<0时，y’>0，∴y单调递增

当0<x₀<1时，y’<0，∴y单调减小

当x₀>1时，y’>0，则y单递增

∴ 当x₀=±1时，，此时点(±1，)

例5、研究函数f(x)=ax³+bx²-x+1的单调性(a≠0)

解题思路分析：

1、a>0时，由f’(x)>0得或

　 得

∴ f(x)在(-∞，，，+∞)上单调递增；在上单调递减。