5．(2010·济南实验中学模拟)(1)现要验证“当质量一定时，物体运

动的加速度与它所受的合外力成正比”这一物理规律．给定的

器材如下：一倾角可以调节的长斜面(如图实－4－10所示)、

小车、计时器一个、米尺．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图实－4－10

(1)填入适当的公式或文字，完善以下实验步骤(不考虑摩擦力的影响)：

①让小车自斜面上方一固定点A₁从静止开始下滑至斜面底端A₂，记下所用的时间t.

②用米尺测量A₁与A₂之间的距离x，则小车的加速度a＝________.

③用米尺测量A₁相对于A₂的高度h.设小车所受重力为mg，则小车所受合外力F＝

_______.

④改变________________________，重复上述测量．

⑤以h为横坐标，1/t²为纵坐标，根据实验数据作图．如能得到一条过原点的直线，则可以验证“当质量一定时，物体运动的加速度与它所受的合外力成正比”这一规律．

(2)在“验证牛顿运动定律”的实验中，实验装置如图实－4－11甲所示，有一位同学通过实验测量作出了图乙中的A图线．试分析：

图实－4－11

①A图线不通过坐标原点的原因是__________________________________________；

②A图线上部弯曲的原因是________________________________________________．

解析：(1)②由x＝at²可得：a＝.

③sinθ＝，不计摩擦力时，小车的合外力F＝mgsinθ＝mg.

④小车的质量不变，要改变小车所受的合外力F重做上述实验时，只要改变斜面的倾角(或A₁、A₂两点间的高度h的数值)即可．

(2)①图线在F轴上有截距，说明没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够．

②a－F图线上部弯曲的原因是未满足钩码质量远小于小车质量．

答案：(1)②　③mg　④斜面倾角(或h的数值)

(2)①没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够

②未满足钩码质量远小于小车质量

4．(2010·广州联考)某同学在做加速度和力、质量的关系的实验中，测得小车的加速度a和拉力F的数据如下表所示：

(1)根据表中的数据在图实－4－9所示的坐标中作出a－F图象；

图实－4－9

(2)图象的斜率的物理意义是_______________________________________________；

(3)图象(或延长线)与F轴的截距的物理意义是________________________；

(4)小车和砝码的总质量为________ kg.

解析：(1)选取适当的标度，作出a－F图象如图所示．

(2)由F＝Ma得a＝，可见图象的斜率为小车和砝码的总质量的倒数．

(3)图象与F轴的截距表示加速度恰好为零时的拉力，也即是小车受到的阻力，大小为0.1 N.

(4)由图可知图线斜率k＝1(kg^－1)，由k＝可得：M＝1 kg.

答案：(1)见解析图　(2)小车和砝码的总质量的倒数

(3)小车受到的阻力为0.1 N　(4)1

3．(2010·阳江模拟)为了探究加速度与力的关系，使用如图实－4－8所示的气垫导轨装置进行实验．其中G₁、G₂为两个光电门，它们与数字计时器相连，当滑行器通过G₁、G₂光电门时，光束被遮挡的时间Δt₁、Δt₂都可以被测量并记录，滑行器连同上面固定的一条形挡光片的总质量为M，挡光片宽度为D，光电门间距离为x，牵引砝码的质量为m.回答下列问题：

图实－4－8

(1)实验开始应先调节气垫导轨下面的螺钉，使气垫导轨水平，在不增加其他仪器的情况下，如何判定调节是否到位？

答：____________________________________________________________________.

(2)若取M＝0.4 kg，改变m的值，进行多次实验，以下m的取值不合适的一个是

__________．

A．m₁＝5 g　　　　B．m₂＝15 g

C．m₃＝40 g　 　　　　　　　D．m₄＝400 g

(3)在此实验中，需要测得每一个牵引力对应的加速度，求得的加速度的表达式为

____________________________________________________________________．

(用Δt₁、Δt₂、D、x表示)

解析：(1)如果气垫导轨水平，则不挂砝码时，M应能在任意位置静止不动，或推动M后能使M匀速运动．

(2)应满足M≫m，故m₄＝400 g不合适．

(3)由v₁＝，v₂＝，v₂²－v₁²＝2ax

可得：a＝.

答案：(1)取下牵引砝码，M放在任意位置都不动；或取下牵引砝码，轻推滑行器M，数字计时器记录每一个光电门的光束被挡的时间Δt都相等

(2)D

(3)a＝

2．(2010·台州模拟)如图实－4－7所示，在探究牛顿运动定律的演示实验中，若1、2两个相同的小车所受拉力分别为F₁、F₂，车中所放砝码的质量分别为m₁、m₂，打开夹子后经过相同的时间两车的位移分别为x₁、x₂，则在实验误差允许的范围内，有(　)

图实－4－7

A．当m₁＝m₂、F₁＝2F₂时，x₁＝2x₂

B．当m₁＝m₂、F₁＝2F₂时，x₂＝2x₁

C．当m₁＝2m₂、F₁＝F₂时，x₁＝2x₂

D．当m₁＝2m₂、F₁＝F₂时，x₂＝2x₁

解析：当m₁＝m₂、F₁＝2F₂时，由F＝ma可知，a₁＝2a₂，再由x＝at²可得：x₁＝2x₂，故A正确，B错误；当m₁＝2m₂、F₁＝F₂时，a₁＝a₂，再由x＝at²可得：x₁＝x₂，故C错误，D正确．

答案：AD

1．关于“验证牛顿运动定律”的实验，下列说法中符合实际的是　　　　　　　 (　)

A．通过同时改变小车的质量m及受到的拉力F的研究，能归纳出加速度、力、质量三者之间的关系

B．通过保持小车质量不变，只改变小车的拉力的研究，就可以归纳出加速度、力、质量三者之间的关系

C．通过保持小车受力不变，只改变小车质量的研究，就可以得出加速度、力、质量三者之间的关系

D．先不改变小车质量，研究加速度与力的关系；再不改变受力，研究加速度与质量的关系，最后归纳出加速度、力、质量三者之间的关系

解析：验证牛顿运动定律的实验，是利用控制变量法，探究加速度a与合外力F、物体质量m的关系，故D项正确．

答案：D

(三)　 解答题

13、设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。

14、若+=(2，-8)，-=(-8，16)，求、及与夹角θ的余弦值。

15、已知||=，||=3，和夹角为45⁰，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。

(二)　 填空题

　　 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。

10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。

11、设，是两个单位向量，它们夹角为60⁰，

则(2-)·(-3+2)=____________。

12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。

(一)　 选择题

1、平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为：

A、　 -5　　　　　　 　 B、-1　　　　　　 　 C、1　　　　　　　　 　　 D、5

　　 2、平面上A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：

A、(-8，)　　 B、()　　 　 C、(0，1)　　　 　　　 D、(0，1)或(2，)

2、点(2，-1)沿向量平移到(-2，1)，则点(-2，1)沿平移到：

3、A、(2，-1)　　 B、(-2，1)　　　 　 C、(6，-3)　　　　 　　 D、(-6，3)

4、△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：

A、　 直角三角形　　　 B、等腰三角形　　 　 C、等边三角形　　 　　　 D、以上均有可能

5、设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

①(·)-(·)=0　　　　　 ②||-||<|-|

③(·)-(·)不与垂直　 ④(3+2)·(3-2)=9||²-4|²中，真命题是：

A、①②　　　　　　 B、②③　　　　　 　 C、③④　　　　　 　　　 D、②④

6、△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)，则∠C度数是：

A、60⁰　 　　　　　　 B、45⁰或135⁰　　　　 C、120⁰　　　　　　 　　 D、30⁰

7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在

A、∠AOB平分线所在直线上　　　　　　 　　　　 B、线段AB中垂线上

C、AB边所在直线上　　　　　　　　　 　　　　 D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=(0，3)，=(4，0)，则=

A、()　　 B、()　　　 　　　 C、(7，4)　　　 　 D、()

　　 例1、如图，，为单位向量，与夹角为120⁰， 与的夹角为45⁰，||=5，用，表示。

解题思路分析：

以，为邻边，为对角线构造平行四边形

把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0

则=λ+μ

∵ ||=||=1

∴ λ=||，μ=||

△OEC中，∠E=60⁰，∠OCE=75⁰，由得：

∴

∴

说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。

解题思路分析：

用解方程组思想

设D(x，y)，则=(x-2，y+1)

∵=(-6，-3)，·=0

∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0　　　 ①

∵=(x-3，y-2)，∥

∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0　　　 ②

由①②得：

∴ D(1，1)，=(-1，2)

例3、求与向量=，-1)和=(1，)夹角相等，且模为的向量的坐标。　

解题思路分析：

用解方程组思想

法一：设=(x，y)，则·=x-y，·=x+y

∵ <，>=<，>

∴

∴

即　　　　　 ①

又||=

∴ x²+y²=2　　　　　　　　 ②

由①②得　 或(舍)

∴=

法二：从分析形的特征着手

∵ ||=||=2

　 ·=0

∴ △AOB为等腰直角三角形，如图

∵ ||=，∠AOC=∠BOC

∴ C为AB中点

∴ C()

说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。

例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。

解题思路分析：

∵ B、P、M共线

∴ 记=s

∴ 　①

同理，记

∴ =　　　　　 　　　　　　②

∵ ,不共线

∴ 由①②得解之得：

∴

说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如s，t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。

例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点

(1)利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45⁰；

(2)若∠PED=45⁰，求证：P、D、C、E四点共圆。

解题思路分析：

利用坐标系可以确定点P位置

如图，建立平面直角坐标系

则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)

设P(0，y)

∴ =(1，3)，=(-1，y)

∴

　 ·=3y-1

代入cos45⁰=

解之得(舍)，或y=2

∴ 点P为靠近点A的AB三等分处

(3)当∠PED=45⁰时，由(1)知P(0，2)

　∴ =(2，1)，=(-1，2)

　∴·=0

∴ ∠DPE=90⁰

又∠DCE=90⁰

∴ D、P、E、C四点共圆

说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。

5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。