所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分

以下证明．      （※）

（※）等价于． ……………………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，…………………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

19．（本小题满分16分）

已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．

解：（Ⅰ）因为，

所以． …………………………………………3分

因为h（x）在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

如果直线AB与⊙P相切，则?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、

C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；

（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为

，．………………………………………………………………2分

联立方程组，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

从而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

17．（本小题满分15分）

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为．…………………………………………………………………7分

     （Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．…………14分

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分

评讲建议：

    本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．）

16．（本小题满分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与

平面ACB₁都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ………………7分

（Ⅱ）存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：（1）A₁B⊥B₁D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A₁E∥平面ACD₁，并说明理由．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

  （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，试求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ），……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

从而．……………………………………………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

评讲建议：

    本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

10．<    11．    12．     13．    14．

1．   2．2   3．0.03  4．  5．④   6．   7．－8   8．3   9．－1

14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有   ▲  个（用m表示）．

说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c＝m再探究．本题也可以用线性规划知识求解．

填空题答案：