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在中,是三角形的三内角,是三内角对应的三边,已知成等差数列,成等比数列
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
【解析】第一问中利用依题意且,故
第二问中,由题意又由余弦定理知
,得到,所以,从而得到结论。
(1)依题意且,故……………………6分
(2)由题意又由余弦定理知
…………………………9分
即 故
代入得
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在中,,分别是角所对边的长,,且
(1)求的面积;
(2)若,求角C.
【解析】第一问中,由又∵∴∴的面积为
第二问中,∵a =7 ∴c=5由余弦定理得:得到b的值,然后又由余弦定理得:
又C为内角 ∴
解:(1) ………………2分
又∵∴ ……………………4分
∴的面积为 ……………………6分
(2)∵a =7 ∴c=5 ……………………7分
由余弦定理得:
∴ ……………………9分
又由余弦定理得:
又C为内角 ∴ ……………………12分
另解:由正弦定理得: ∴ 又 ∴
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△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求AC的长及△ABC的面积。
【解析】本试题主要考查了余弦定理的运用。利用由题意得,
,并且有得到结论。
解:(Ⅰ)由题意得,………1分…………1分
(Ⅱ)………………1分
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在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,
求⑴ ∠ADB的大小;⑵ BD的长.
【解析】本试题主要考查了三角形的余弦定理和正弦定理的运用
第一问中,∵cos∠ADC=
==-∴ cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC=∴ cos∠ADB=60°
第二问中,结合正弦定理∵∠DAB=180°-∠ADB-∠B=75°
由= 得BD==5(+1)
解:⑴ ∵cos∠ADC=
==-,……………………………3分
∴ cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC=, ……………5分
∴ cos∠ADB=60° ……………………………6分
⑵ ∵∠DAB=180°-∠ADB-∠B=75° ……………………………7分
由= ……………………………9分
得BD==5(+1)
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在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量=(sinA,b+c),=(a-c,sinC-sinB),满足=
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设=(sin(C+),), =(2k,cos2A) (k>1), 有最大值为3,求k的值.
【解析】本试题主要考查了向量的数量积和三角函数,以及解三角形的综合运用
第一问中由条件|p +q |=| p -q |,两边平方得p·q=0,又
p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,
根据正弦定理,可化为a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即,又由余弦定理=2acosB,所以cosB=,B=
第二问中,m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),m·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).
而0<A<,sinA∈(0,1],故当sin=1时,m·n取最大值为2k-=3,得k=.
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