摘要：解:(Ⅰ)依题意.由a2+b2=4.得双曲线方程为(0＜a2＜4).
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甲船由
岛出发向北偏东
的方向作匀速直线航行，速度为
海里∕小时，在甲船从岛出发的同时，乙船从岛正南
海里处的
岛出发，朝北偏东
的方向作匀速直线航行，速度为
海里∕小时。
⑴求出发
小时时两船相距多少海里？
⑴ 两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？
【解析】第一问中根据时间得到出发小时时两船相距的海里为
第二问设时间为t，则
利用二次函数求得最值，
解：⑴依题意有：两船相距
答：出发3小时时两船相距
海里
⑵两船出发后t小时时相距最近，即
即当t=4时两船最近，最近距离为
海里。
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如图，
，
，…，
，…是曲线
上的点，
，
，…，
，…是
轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…
均为斜边在轴上的等腰直角三角形（
为坐标原点）．
（1）写出
、
和
之间的等量关系，以及、和
之间的等量关系；
（2）求证：
（
）；
（3）设
，对所有，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用有
，
得到
第二问证明：①当
时，可求得
，命题成立；②假设当
时，命题成立，即有
则当
时，由归纳假设及
，
得
第三问
．………………………2分
因为函数
在区间
上单调递增，所以当时，
最大为
，即
解：（1）依题意，有，，………………4分
（2）证明：①当时，可求得，命题成立；
……………2分
②假设当时，命题成立，即有，……………………1分
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得
（
不合题意，舍去）
即当时，命题成立． …………………………………………4分
综上所述，对所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即
．……………2分
由题意，有
．
所以，
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