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说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题,当考生的解答 某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算.
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B
7.C 8.D 9.A 10.D 11.B 12.A
二、本大题:共4个小题;每小题4分,共16分.本题主要考查基础知识和基本运算.
13. 14. 15. 16.② 、④
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:.本小题主要考查三角函数的符号,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力.满分12分.
(1)∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos>0,从而sin+cos>0 …3分
∴ =sin+cos=== …………………………6分
(2)∵∴=……………………………8分
∴时的单调递增区间为[0,]和 [,].………………………………………12分
18.本小题主要考查直线和平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分12分.
解法一:(1)在直角梯形ABCD中,过点A作AN垂直BC,
垂足为N,易得BN=1,,同时四边形ANCD是矩形,
则CN=1,点N为BC的中点,所以点N与点M重合,.………2分
连结AM,
因为平面ABCD,所以,又AD∥BC,
所以SM AD.…………………………………4分
(2)过点A作AG垂直SM于点G,
易证平面SAM,
则,在RT中, ,………………………………………7分
又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,大小值为;……………8分
(3)取AB中点E,因为是等边三角形,所以,又,得,过点E作EF垂直SB于点F,连结CF,则,所以是二面角A-SB-C的平面角.………10分
在RT中,.在RT中,,所以二面角A-SB-C的大小为.………………………………………………………………………………………12分
解法二:(1)同解法一.
(2)根据(1),如图所示,分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
有A(0,0,0),M(,0,0),B(,-1,0),C(,1 ,0),D(0,1 ,0),S(0,0 ,1)
所以,,.
设平面SBC的法向量,则,即
,
解得,取.……………………………………………………………………………6分
又=,则点D到平面SBC的距离
.………………………………………………………………8分
(3)设平面ASB的法向量,则,即
,
解得,取.……………………………………………………………………………10分
所以,则二面角A-SB-C的大小为.………………………………12分
19.本小题主要考查排列组合与概率的基础知识,考查推理、运算能力与分类讨论思想,以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:(1)依次成公差大于0的等差数列, 即为甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2,此时的概率;…………………………………………………………………………3分
(2)解法一:依题意知,的取值为0、1、2、3.,…………………………4分
, ………………………………………………6分
,……………………8分
,…………10分
所以,随机变量的概率分布列为:
0
1
2
3
P
数学期望为………………………………………………………12分
解法二:把甲、乙两盒的球数合并成一盒,则每次掷骰子后球放入该盒中的概率……6分
且,分布列详见解法一,…………………………………………………………………… 10分
……………………………………………………………………………………………12分
解法三:令,则; ……………………………………………………6分
,,分布列详见解法一,…………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
20.本小题主要考查等比数列和等差数列的概念和性质,以及数列求和的基本运算,考查学生解决数列问题的基本技能,要求学生具备较强的解决数列问题的能力.满分12分.
解:(1)设等差数列的公差为,由 得
,,………………………………………………………………2分
则 ,……………………………………………………………………………3分
, ,等比数列的公比,……………………………………………4分
则 , ………………………………………………………………………………5分
,中的每一项均为中的项;……………………………………………………6分
(2) ,……………………………………………………………7分
由得:
,………………………………………………………………8分
,
,……………………………………………9分
相减得:
,……………………………………………………………………11分
.……………………………………………………………………12分
21.本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系;考查三角函数、方程、不等式的内容;考查解析几何思想、分析问题、解决问题的能力.满分12分.
解法一:(1)设T(x0,y0),由对称性,不妨设,∴,
∴且;………………………………………………………………………………1分
∵直线L椭圆E只有一个公共点T,
由椭圆E:得,求导得,……………2分
∴直线L:,得;………………………………………………3分
∵直线L在轴上的截距为,令,得,∴;
∴直线L斜率的绝对值;……………………………………………………………5分
(2)直线L:与的交点
,……………………………………………………………………………6分
设,在RTDF1AF2和RTDF1BF2中,
,………………………………………………………………………7分
当时,
∴……………………………………………………8分
;…………………………………………………………………9分
∵且,∴,…………………………10分
∵最大值为1200,只需令,
∴,……………………………………………………………………………………11分
∴;∴
∴椭圆E的方程为.…………………………………………………………………………12分
解法二:(1)依题意设直线L:,代入椭圆E:整理得:
(*),……………………………………………………………………2分
∵直线L椭圆E只有一个公共点T,
∴方程(*)的,………………………………………………………3分
整理得:,①
∵直线L在轴上的截距为,∴代入①得,∴;………………………5分
(2)考虑对称性,不妨设,由①得,
直线L:与的交点,…………………………6分
设,在RTDF1AF2和RTDF1BF2中,
,由①得,……………………………………………………7分
当时,
∴…………………………………………………………8分
,…………………………………………………………9分
∵且,∴,………………………………10分
∵最大值为1200,只需令,………………………………11分
∴;∴
∴椭圆E的方程为.…………………………………………………………………………12分
22.本小题主要考查函数、数列、不等式、导数等基础知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力,考查数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法.满分12分.
解:(1)令. ………………………………………1分
令
x
(0,1)
1
(1,+
+
0
-
g(x)
ㄊ
极大值0
ㄋ
根据此表可知,当x=1时,g(x)的最大值为0.
故当x>0时,都有g(x)≤0,即lnx≤x-1. ………………………………………………………3分
(2) 解法一:……………………………4分
① 当k<0时, ,∴h(x)在(0,+上是减函数;
又当x>0且x趋近于零时,h(x)>0.
∴此时h(x)=0在上有解. …………………………………………………………………5分
②当k>0时, 令得 x=(∵x>0)
x
-
0
+
h(x)
ㄋ
极小值
ㄊ
根据此表,当x=,h(x)的最小值为,………6分
依题意,当≤0,即时,关于x的方程f(x)=在上有解,……7分
综上:k<0或. ……………………………………………………………………………………8分
解法二:当x>0时,lnx=等价于…………………………………………………4分
令F(x)= 则,…………………………………………………………5分
令得.
x
+
0
-
F(x)
ㄊ
极小值
ㄋ
根据此表可知, 当x=时,F(x)的最大为.………………………………………………………………6分
又当x>0且x趋近于零时,F(x)趋向于负无穷大.
依题意,当,即k<0或,时,关于x的方程f(x)=在上有解,
因此, 实数k的取值范围为k<0或.………………………………………………………………8分
(3)由(1)可知,当x>1时,.
令x=k(k,则. ……………………………………………………………………9分
于是
= …………………………………10分
又当m时,
.
于是.
故≤.
所以原不等式成立. …………………………………………………………………………………………14分