数列，满足

（1）求，并猜想通项公式。

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式求解，并用数学归纳法加以证明。第一问利用递推关系式得到，，，，并猜想通项公式

第二问中，用数学归纳法证明（1）中的猜想。

①对n=1，等式成立。

②假设n=k时，成立，

那么当n=k+1时，

，所以当n=k+1时结论成立可证。

数列，满足

（1），，，并猜想通项公。  …4分

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。①对n=1，等式成立。  …5分

②假设n=k时，成立，

那么当n=k+1时，

，             ……9分

所以

所以当n=k+1时结论成立                     ……11分

由①②知，猜想对一切自然数n均成立

在棱长为的正方体中,是线段的中点,.

(1) 求证:^；

(2) 求证://平面；

(3) 求三棱锥的表面积.

【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用，得到结论，第二问中，先判定为平行四边形，然后，可知结论成立。

第三问中，是边长为的正三角形，其面积为，

因为平面，所以，

所以是直角三角形，其面积为，

同理的面积为， 面积为.  所以三棱锥的表面积为.

解: (1)证明：根据正方体的性质，

因为，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)证明：连接，因为，

所以为平行四边形，因此，

由于是线段的中点，所以，      …………6分

因为面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是边长为的正三角形，其面积为，

因为平面，所以，

所以是直角三角形，其面积为，

同理的面积为，              ……………………10分

面积为.          所以三棱锥的表面积为