摘要：15．如图所示.已知A.B.C是长轴长为4的椭圆上的三点.点A是长轴的一个端点.BC过椭圆中心O.且.|BC|＝2|AC|． (I)建立适当的坐标系.求椭圆方程, (II)如果椭圆上有两点P.Q.使∠PCQ的平分线垂直于AO.证明:存在实数λ.使． 解:(I)以O为原点.OA为X轴建立直角坐标系.设A(2.0).则椭圆方程为 ∵O为椭圆中心.∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵. ∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形 ∴点C的坐标为(1.1) ∴点B的坐标为 将C的坐标(1.1)代入椭圆方程得. 则求得椭圆方程为 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴).不妨设PC的斜率为k.则QC的斜率为-k.因此PC.QC的直线方程分别为y＝k(x-1)+1.y＝-k(x-1)+1 由 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1＝0 *) ∵点C(1.1)在椭圆上. ∴x＝1是方程(*)的一个根.∴xP•1＝即xP＝ 同理xQ＝ ∴直线PQ的斜率为 又∠ACB的平分线也垂直于OA ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵kAB=) ∴向量.即总存在实数.使成立．

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