摘要： 如图.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证:(1)平面AB1D1∥平面C1BD,(2)对角线A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分. 解析:本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行.则两平面平行 是很容易解决论证平面AB1D1∥平面C1BD的.但兼顾考虑我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行 的判定的方法. 证:(1)连AC.∵BD⊥AC.AC是A1C在底面上的射影.由三条垂线定理得A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1. ∴A1C⊥平面C1BD.同理也能证得A1C⊥平面AB1D1. ∴平面AB1D1∥平面C1BD. (2)设A1到平面AB1D1的距离为h.正方体的棱长为a.则有:h·(a)2＝a· a2. ∴h＝a.同理C到平面C1BD的距离也为a.而A1C＝a.故A1C被两平行平面三等分. 评析:论证A1C被两平行平面三等分.关键是求A1到平面AB1D1的距离.C到平面C1BD的距离.这里用三棱锥体积的代换.若不用体积代换.则可以在平面A1ACC1中去考虑: 连A1C1.设A1C1∩B1D1＝O1.AC∩BD＝0.如图连AO1.C1O.AC1.设AC1∩A1C＝K.A1C∩AO1＝M.C1O∩A1C＝N.可证M为ΔA1AC1的重心.N为ΔACC1的重心.则可推知MN＝NC＝A1M. 另外值得说明的是:A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂线. 异面直线AD1和C1D的距离也等于MN.

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