摘要：定义域为R的函数f,且y=f ( ) A.是周期为4的周期函数 ? B.是周期为8的周期函数 C.是周期为12的周期函数 D.不是周期函数 答案?C 例1 判断下列函数的奇偶性. =; =log2(x+) ; =lg|x-2|. 解 (1)∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1.1}. ∵f=f, 故f(x)既是奇函数又是偶函数. 的定义域为R. 又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 方法二 易知f(x)的定义域为R. 又∵f=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f, ∴f(x)为奇函数. (3)由|x-2|>0.得x≠2. ∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称.故f(x)为非奇非偶函数. 例2 已知函数f(x),当x,y∈R时.恒有f. 是奇函数, (2)如果x∈R+.f=-,试求f(x)在区间［-2.6］上的最值. (1)证明 ∵函数定义域为R.其定义域关于原点对称. ∵f.令y=-x,∴f.令x=y=0, ∴f=0.∴f=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解 方法一 设x,y∈R+.∵f. ∴f. ∵x∈R+.f(x)<0, ∴f<0, ∴f. ∵x+y>x, ∴f上是减函数. 又∵f=0. ∴f上是减函数.∴f为最小值. ∵f(1)=-,∴f=1,f］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2.6］上的最大值为1.最小值为-3. 方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减. ∴f为最小值.∵f(1)=-. ∴f=1,f］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2.6］上的最大值为1.最小值为-3. 例3的定义域为R.且满足f?. 是周期函数, 为奇函数.且当0≤x≤1时.f(x)=x,求使f(x)=-在［0.2 009］上的所有x的个数. . ∴f］=f(x). 2分 ∴f(x)是以4为周期的周期函数. 3分 (2)解 当0≤x≤1时.f(x)=x, 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x. ∵f=-f(x), ∴-f(x)=-x.即f(x)=x. 5分 故f(x)= x 6分 又设1<x<3,则-1<x-2<1, ∴f(x-2)=(x-2), 7分 又∵f+2)=-［-f. ∴-f(x)=(x-2). ∴f(x)=-. 8分 ∴f(x)= 9分 由f(x)=-,解得x=-1. ∵f(x)是以4为周期的周期函数. 故f(x)=-的所有x=4n-1 . 10分 令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤, 又∵n∈Z.∴1≤n≤502 , ∴在［0.2 009］上共有502个x使f(x)=-. 12分

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