摘要：16．证明:(Ⅰ)设的交点为O,连接.连接. 因为为的中点.为的中点.所以∥且. 又是中点. 则∥且,即∥且. 则四边形为平行四边形.所以∥. 又平面,平面.则∥平面. -----7分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形.所以.. 所以平面. 因为平面.所以. 由已知得.所以. 所以平面. 由(Ⅰ)可知∥.所以平面. 所以. 因为侧面是正方形.所以. 又.平面,平面, 所以平面. 点A到到平面.故距离等于----------14分
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如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，底面为正方形，
，
，
分别是
，
的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求证：
；
（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
【解析】第一问利用线面平行的判定定理，
，得到
第二问中，利用
，所以
又因为
，
，从而得
第三问中，借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.
（Ⅰ）证明：
分别是
的中点，
，． …4分
（Ⅱ）证明：四边形为正方形，．
， ．
， 
，
．，． ………8分
（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,
∴
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如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】（Ⅰ）因为
又
是平面PAC内的两条相较直线，所以BD
平面PAC，
而
平面PAC，所以
.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以
是直线PD和平面PAC所成的角，从而
.
由BD平面PAC，
平面PAC，知
.在
中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，
，所以
均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以
故四棱锥
的体积为
.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由
算得体积
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