摘要：证明以下命题: 对任一正整a,都存在整数b,c.使得成等差数列. 存在无穷多个互不相似的三角形△.其边长为正整数且成等差数列. [解析]作为压轴题.考查数学综合分析问题的能力以及创新能力. (1)考虑到结构要证.,类似勾股数进行拼凑. 证明:考虑到结构特征.取特值满足等差数列.只需取b=5a.c=7a.对一切正整数a均能成立. 结合第一问的特征.将等差数列分解.通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形.再证明互不相似.且无穷. 证明:当成等差数列.则. 分解得: 选取关于n的一个多项式.做两种途径的分解 对比目标式.构造.由第一问结论得.等差数列成立. 考察三角形边长关系.可构成三角形的三边. 下证互不相似. 任取正整数m.n.若△m.△相似:则三边对应成比例. 由比例的性质得:.与约定不同的值矛盾.故互不相似.

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