（本小题满分12分）

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；                                

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。   

（本小题满分12分）

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

（I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（II）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点为定值.

（本小题满分12分）（文题满分14分）

       如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

   （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

   （Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。

（本小题满分12分）如图，已知M是函数图像C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B，O是坐标原点，求面积的最小值.

（本小题满分12分）

如图，已知曲线C:，。从C上的点作x轴的垂线，交于点，再从点作y轴的垂线，交C于点，设。

（Ⅰ）求的坐标； 

（Ⅱ）求数列{}的通项公式；

（Ⅲ）记数列{}的前n项和为，求证：。