摘要：2．解:(I) 当时. 由或. x (0,1) 1 + - 单调递增 极大值 单调递减 时..无极小值. 4分 (Ⅱ)存在单调递减区间. 在内有解.即在内有解. 若.则.在单调递增.不存在单调递减区间, 若.则函数的图象是开口向上的抛物线.且恒过点(0.1).要 使在内有解.则应有 或.由于., 若.则函数的图象是开口向下的抛物线.且恒过点(0.1). 在内一定有解. 综上.或 . 8分 (Ⅲ)依题意:.假设结论不成立. 则有 ①-②.得 由③得. 即 设.则. 令 .在(0.1)上为增函数. .即.与④式矛盾 假设不成立. 14分
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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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