已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【解析】(1)解： 的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

在（2）中取，得 ，

从而

所以有

综上，，

 设，为的反函数。

   （1）当为自然对数的底数）时，求函数的最小值；

   （2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

设向量，函数上的最小值最最大值和为，又数列

（1）求证：

（2）求的表达式；

（3）中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立？证明你的结论。

    已知函数在上最小值是。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）证明：；

    （III）在点列中是否存在两点，使直线的斜率为1？若存在，求出所有的数对（i，j）；若不存在，请说明理由。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）证明：；

    （III）在点列中是否存在两点，使直线的斜率为1？若存在，求出所有的数对（i，j）；若不存在，请说明理由。