设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（－1，0），B（1，0）且MG//AB.

（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线的方程.

【解析】

第一问因为设C（x,y）（）

……3分

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即（2）

由（1）（2）得.所以三角形顶点C的轨迹方程为，.…6分

第二问直线l的方程为y=kx+1

由消y得。 ∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=，

又，

∵，∴

得到直线方程。

设，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点

作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点

G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；     (6分)

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得

△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具

体求出这些点的坐标）。(8分)

设，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点

作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点

G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；     (6分)

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得

△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具

体求出这些点的坐标）。(8分)

已知圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6＝0，以坐标原点为圆心的圆N与圆M相切.

（1）求圆N的方程；

（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求·的取值范围；

（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由