设函数

（1）当时，求曲线处的切线方程；

（2）当时，求的极大值和极小值；

（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

【解析】（1）中，先利用，表示出点的斜率值这样可以得到切线方程。（2）中，当，再令，利用导数的正负确定单调性，进而得到极值。（3）中，利用函数在给定区间递增，说明了在区间导数恒大于等于零，分离参数求解范围的思想。

解：（1）当……2分

    ∴

即为所求切线方程。………………4分

（2）当

令………………6分

∴递减，在（3，+）递增

∴的极大值为…………8分

（3）

①若上单调递增。∴满足要求。…10分

②若

∵恒成立，

恒成立，即a>0……………11分

时，不合题意。综上所述，实数的取值范围是

求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(2,－1)，与直线x＋y＝1相切的圆的方程.

【解析】利用圆心和半径表示圆的方程，首先

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)  

∴r＝＝,

故所求圆的方程为：＋＝2

解：法一：

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)             ……………………8分

∴r＝＝,                 ………………………10分

故所求圆的方程为：＋＝2                   ………………………12分

法二：由条件设所求圆的方程为：＋＝ 

 ,          ………………………6分

解得a＝1,b＝－2, ＝2                     ………………………10分

所求圆的方程为：＋＝2             ………………………12分

其它方法相应给分

已知，函数

（1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；

(2)求函数在[－1，1]的极值；

(3)若在上至少存在一个实数x₀，使>g(x_o)成立，求正实数的取值范围。

【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。（1）中，那么当时，  又    所以函数在点(1，)的切线方程为；（2）中令   有 

对a分类讨论，和得到极值。（3）中，设，，依题意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  当时，  又    

∴  函数在点(1，)的切线方程为 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         当即时

故的极大值是，极小值是

②         当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 

综上所述   时，极大值为，无极小值

时  极大值是，极小值是        ----------8分

（Ⅲ）设，

对求导，得

∵，    

∴ 在区间上为增函数，则

依题意，只需，即 

解得  或（舍去）

则正实数的取值范围是（，）