摘要:(II)若要求列车在B.C两站的运行误差之和不超过2分钟.求的取值范围.

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一、 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.

(1)D   (2)C    (3)A   (4)A    (5)B    (6)D   (7)C   (8)B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.

(9)   

(10)

(11)(0,1),

(12)  

(13)大    -3

(14)3    52

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(15)本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力.满分14分.

    解法一:

   

    又,

   

   

    .

    解法二:

             (1)

    

    ,

     .   (2)

    (1)+(2)得:.

    (1)-(2)得:.

    .

    (以下同解法一)

(16)本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分14分.

    解:(I)正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形

    其对角线长为.

    (II)如图,将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接于M,则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线,其长为

    .

    ,

    故.

    (III)连接DB,,则DB就是平面与平面ABC的交线

    在中,

   

    又,

    由三垂线定理得.

    就是平面与平面ABC所成二面角的平面角(锐角),

    侧面是正方形,

    .

    故平面与平面ABC所成的二面角(锐角)为.

 (17)本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.满分14分.

    解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为.

    点P(1,2)在抛物线上,

    ,得.

    故所求抛物线的方程是,

    准线方程是.

    (II)设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,

    则.

    PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,

    .

    由A(),B()在抛物线上,得

        ,(1)

    ,     (2)

   

    由(1)-(2)得直线AB的斜率

   

 (18)本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分14分.

    解:(I)由,得.

    由,得.

    同理,.

    归纳得

    (II)当时,,

    ,

    ,

    .

    所以是首项为,公比为的等比数列.

    所以.

(19)本小题主要考查解不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

    解:(I)列车在B,C两站的运行误差(单位:分钟)分别是

   

    (II)由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟,所以

        (*)

    当时,(*)式变形为,

    解得;

    当时,(*)式变形为,

    解得;

    当时,(*)式变形为,

    解得

    综上所述,的取值范围是[39,].

 (20)本小题主要考查不等式的证明等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分12分.

    解:(I).除第N组外的每组至少含有个数.

    (II)当第n组形成后,因为,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差,余下数之和也大于第n组的余差,即

    ,

    由此可得.

    因为,所以.

    (III)用反证法证明结论,假设,即第11组形成后,还有数没分完,由(I)和(II)可知,余下的每个数都大于第11组的余差,且,

    故余下的每个数 .   (*)

    因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于,

    此时第11组的余差,

    这与(*)式中矛盾,所以.

 

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