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（本小题满分12分）已知函数
（I）若函数
在区间
上存在极值，求实数a的取值范围；
（II）当
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围.
（Ⅲ）求证：解：（1）
，其定义域为
，则
令
，
则
，
当
时，
；当
时，
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减，
即当时，函数取得极大值. （3分）
函数在区间
上存在极值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，则
，
，即
在
上单调递增， （7分）
，从而
，故
在上单调递增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，当时，
恒成立，即
，
令
，则
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
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如图，
，
，…，
，…是曲线
上的点，
，
，…，
，…是
轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…
均为斜边在轴上的等腰直角三角形（
为坐标原点）．
（1）写出
、
和
之间的等量关系，以及、和
之间的等量关系；
（2）求证：
（
）；
（3）设
，对所有，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用有
，
得到
第二问证明：①当
时，可求得
，命题成立；②假设当
时，命题成立，即有
则当
时，由归纳假设及
，
得
第三问
．………………………2分
因为函数
在区间
上单调递增，所以当时，
最大为
，即
解：（1）依题意，有，，………………4分
（2）证明：①当时，可求得，命题成立；
……………2分
②假设当时，命题成立，即有，……………………1分
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得
（
不合题意，舍去）
即当时，命题成立． …………………………………………4分
综上所述，对所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即
．……………2分
由题意，有
．
所以，
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已知函数
，
（1）求函数
的定义域；
（2）求函数在区间
上的最小值；
（3）已知
，命题p：关于x的不等式
对函数的定义域上的任意
恒成立；命题q：指数函数
是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【解析】第一问中，利用由
即
第二问中，
，
得：
，
第三问中，由在函数的定义域上
的任意，
，当且仅当
时等号成立。当命题p为真时，
；而命题q为真时：指数函数
．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时；当命题p为假，命题q为真时分为两种情况讨论即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函数的定义域上
的任意，
，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时，
当命题p为假，命题q为真时，
，
所以
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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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设函数
（1）当
时，求曲线
处的切线方程；
（2）当
时，求
的极大值和极小值；
（3）若函数在区间
上是增函数，求实数
的取值范围.
【解析】（1）中，先利用
，表示出点的斜率值
这样可以得到切线方程。（2）中，当
，再令
，利用导数的正负确定单调性，进而得到极值。（3）中，利用函数在给定区间递增，说明了在区间导数恒大于等于零，分离参数求解范围的思想。
解：（1）当……2分
∴
即
为所求切线方程。………………4分
（2）当
令………………6分
∴
递减，在（3，+
）递增
∴的极大值为
…………8分
（3）
①若
上单调递增。∴满足要求。…10分
②若
∵
恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
时，不合题意。综上所述，实数的取值范围是
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