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1. 由函数
知，当
时,
，且
,则它的反函数过点（3，4），故选A.
2.∵
，∴
，则
，即
，
.
，选B.
3. 由平行四边形法则，
，
∴
，
又
，
∴
，当P为
中点时，取得最小值
.选B.
4. 设
是椭圆的一个焦点,它是椭圆三个顶点
,
,
构成的三角形的垂心(如图).由
有
,即
,∴
,得
,解得
，选A.
5. 设正方形边长为
，
，则
，
.在
由正弦定理得
，又在由余弦定理得
，于是
，
，选C.
6. 
在底面
上的射影
知，
为斜线
在平面上的射影，∵
，由三垂线定理得
，∵
，所以直线与直线
重合，选A.
7. 过A作抛物线
的准线的垂线AA1交准线A1,
过B作椭圆的右准线的垂线
交右准线于
则有：BN＝e|BB1|＝2－xB，AN＝|AA1|＝xA＋1，周长
＝|AN|＋|AB|＋|BN|＝xA＋1＋(xB－xA)＋(2－xB)＝3＋xB，
由可得两曲线的交点x＝，xB∈(，2)，
∴3＋xB∈(，4)，即△ANB周长取值范围是(，4)，选B.
8. 先将3，5两个奇数排好，有
种排法，再将4，6两个偶数插入3，5中，有
种排法，最后将1，2 当成一个整体插入5个空位中，所以这样的六位数的个数为
，选B.
设命题
：函数
在
上单调递减，命题
：不等式
的解集为，若
为真，
为假，求实数
的取值范围．
【解析】先通过指数函数的单调性求出p为真命题的c的范围，再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题q为真命题的c的范围，分p真q假与p假q真两类求出c的范围即可．
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位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A）
种 （B）
种
（C）
种 （D）
种
【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有
种，所以不同的演讲次序有
种，选C.
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在本次数学期中考试试卷中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”.某考生每道题都给出一个答案, 且已确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：
（1）选择题得满分(50分)的概率；
（2）选择题所得分数
的数学期望。
【解析】第一问总利用独立事件的概率乘法公式得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为
，有1道题答对的概率为
，还有1道答对的概率为
，
所以得分为50分的概率为： 
第二问中，依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，
所以概率为
得分为40分的概率为：
同理求得，得分为45分的概率为：
得分为50分的概率为：
得到分布列和期望值。
解：（1）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，
所以得分为50分的概率为： …………5分
（2）依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝ …………6分
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，
所以概率为 …………7分
得分为40分的概率为： …………8分
同理求得，得分为45分的概率为：
…………9分
得分为50分的概率为：
…………10分
所以得分的分布列为
|
|
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
|
|
|
|
数学期望
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在棱长为
的正方体
中,
是线段
的中点,
.
(1) 求证:
^
；
(2) 求证://平面
；
(3) 求三棱锥
的表面积.
【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用
，得到结论，第二问中，先判定
为平行四边形，然后
，可知结论成立。
第三问中，
是边长为
的正三角形，其面积为
，
因为
平面
，所以
，
所以
是直角三角形，其面积为
，
同理
的面积为
，
面积为
. 所以三棱锥的表面积为
.
解: (1)证明：根据正方体的性质
，
因为
，
所以
，又
，所以，
，
所以^.
………………4分
(2)证明：连接
，因为
，
所以为平行四边形，因此
，
由于是线段的中点，所以， …………6分
因为
面，
平面，所以∥平面. ……………8分
(3)是边长为的正三角形，其面积为，
因为平面，所以，
所以是直角三角形，其面积为，
同理的面积为，
……………………10分
面积为. 所以三棱锥的表面积为
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某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了 50名学生.调査结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般.
（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？
高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表
|
|
爱看课外书 |
不爱看课外书 |
总计 |
|
作文水平好 |
|
|
|
|
作文水平一般 |
|
|
|
|
总计 |
|
|
|
（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
|
|
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
|
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
【解析】本试题主要考查了古典概型和列联表中独立性检验的运用。结合公式为判定两个分类变量的相关性，
第二问中，确定
结合互斥事件的概率求解得到。
解：因为2×2列联表如下
|
|
爱看课外书 |
不爱看课外书 |
总计 |
|
作文水平好 |
18 |
6 |
24 |
|
作文水平一般 |
7 |
19 |
26 |
|
总计 |
25 |
25 |
50 |
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