一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.D点拔：由已知可得M=N，故，a、b是方程x²-4x+2=0的两根，故a+b=4

2.D 点拔：∵

 ∴等号取不到，即故A、B、C均正确，而D显然错误，应为|a|-|b|<|a-b|.

3.A 点拔： 由题意知，选出的6名学生中应有4名女生，2名男生，故共C种不同的抽取方法。

4.D 点拔：若2为方程x²-6x+k=0的根.∴另一根为4，故k=8.又方程x²+6的两根与2，4，按一定次序可排成以2为首项的等比数列，故另两根易求出，分别为-2和-4.∴h=16，∴k+h=24，而其余情况均不可能.

5.C 点拔：tan110°=tan(120°-10°)= tan110°=tan(90°+20°)= -cot20°= -

6.B 点拔：，当且仅当即时上式取等号，这时|PF₁|=4a，由|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，得6a≥2c,故1<e=

7.D 点拔：由f′(x)的图象可知，函数y=f(x)在区间[a，b]上的两端点处取得极值，且从a到b的各点处的切线的斜率是先增大后减小，故选D.

8.D 点拔：如图所示，把对角面A₁C绕A₁B旋转至A₁BC′D′₁,

  使其与△AA₁B在同一平面上，连接AD₁′，则AD₁′=

  为所求的最小值.

9.B 点拔：设线段BC的中D，则

  ∴

  ∴

  ∴

  =λ()=0

  ∴DP⊥BC.∴点P的轨迹一定通过△ABC的外心.

10.C 点拔：如图，作出函数f(x)的图象，可知关于f(x)的方程有一

正根和一零根，不妨设f(x¹)=0且f(x²)=f(x³)=m

∴由图像对称性知x₂+x₃=2,又x₁=1,∴(x₁+x₂+x₃)²=9.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.-3点拔：z=

12.1<a<点拔：易知f(x)为奇函数且在定义域上增函数，∴原不等式可化为f(1-a)<f(a²-1),其等价于不等式组

13.-t₂+t+点拔：如图，由题设条件所确定的区域为图中所示阴影部分.

∴S=×2×1-t²-(1-t)²=-t²+t+.

14.[ )∪(1，]点拔：函数y=的图象上的点到原点的最短距离为1，最长距离为3.

故q的最大值为的最小值为.又q≠1  ∴q∈[)∪(1, ].

15.n?2^n-1点拔：对于任一个不含元素n的子集A，加入一个元素n后成集B，则集合A与集合B“交替和”的和为n.这种构造的集合A集合与集合B是一一对应的，各有2^n-1个，切每一对集合的“交替和”的和为n，故非空子集的“交集和”的总和S_n=n?2^n-1.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.(1)∵△ABC三个顶点分别是A(3，0)、B(0，3)、C(cosα,sinα),

  ∴=(cosα-3,sinα)，=(cosα，sinα-3),                 ………………(2分)

  由||=||得

  即cosα=sinα,                                                                 ………………(4分)

  ∵   ∴a=                                             ………………(6分)

  (2)由得，(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1

  即sinα+cosα=                                                            ………………(8分)

  ∴(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα=

  又∴sinα>0,cosα<0.

  (cosα-sinα)²=1-2sinαcosα=1-(-)=,                        ………………(10分)

  ∴cosα-sinα=-                                                        ………………(12分)

 17.(1)y′=f′(x)=3x²-a.                                                       ………………(2分)

  若f(x)在[1，+∞)上是单调递减函数，则须y′≤0，即α≥3x²恒成立，这样的实数a不存在，故f(x)在[1，+∞)上不可能是单调递减函数；                     ………………(4分)

  若f(x)在[1，+∞)]上是单调递增函数，则a≤3x²恒成立，由于x∈[1，+∞)，故3x²≥3.从而0<a≤3.                                                                            ………………(6分)

  (2)解法一  (反证法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能为单调递函数.

假设f(x₀)≠x₀,

若1≤x₀<f(x₀)，则f(x₀)<f(f(x₀))=x₀,矛盾；                         ………………(8分)

若1≤f(x₀)<x₀,则f(f(x₀))<f(x₀),即x₀<f(x₀),矛盾，                ………………(10分)

故只有f(x₀)=x₀成立.                                                         ………………(12分)

解法二 设f(x₀)=u (u≥1),则f(u)=x₀,∴x两式相减得(x)-a(x₀-u)-x₀,

∴(x₀-u)(x+x₀u+u²+1-a)=0,                                              …………………(8分)

∵x₀≥1,u≥1,∴x+x₀u+u²≥3.

又0<a≤3,∴x+x₀u+u²+1-a>0.

∴x₀-u≤0,即u=x₀,亦即f(x₀)=x₀.                                         …………………(12分)

18.(1)连结DM、D屏延长，分别交AB、A₁B₁于点P、Q，连结PQ，

  ∵M、N分别为△ABD、△A₁B₁D的垂心，则P、Q分别为AB、A₁B₁的中点，

  且∴PQ∥BB₁∥MN，  …………………(2分)

  ∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥BC，∴MN⊥BC.     …………………(4分)

  (2)连结CP，∵AC=BC，∴CP⊥AB，又∵CC₁⊥面ABC，

∴AD=DB=，  ∴DP⊥AB，

  ∴∠CPD即为二面角C-AB-D的平面角，∴∠CPD=arctan,

  在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴CP=，

  ∴在Rt△CDP中,CD=CP?tan∠CPD=2,

  ∵CC₁=AA₁=4,∴DC₁=2,                                                           …………………(6分)

  连结C₁Q，C₁Q=CP=

∵A₁D=DB₁=为A₁B₁的中点，∴DQ⊥A₁B₁，

∴S_△A1B1D=，

设C₁到面DA₁B₁的距离为h，

∵V_C1-A1B1D=V_D-A1B1C1,∴h?S_A1B1D=C₁D?S_△A1B1C1,

∴h=.                                                                              …………………(8分)

(3)∵CM⊥面ABD，∴CM⊥DP，∴

∴CD=2，∴C₁D=2，则DQ=DP，∵MN∥PQ，∴DM=DN，

∵CD²=DM?DP，∴DC=DN?DQ，

∴△DC₁Q~△DNC₁,∴∠C₁ND=∠DC₁Q=90°,                         …………………(10分)

∴C₁N⊥DQ，又∵A₁B₁⊥面C₁CPQ，∴A₁B₁⊥C₁N，

∴C₁N⊥面A₁B₁D,∴C₁在面A₁B₁D的射影即为N.                    …………………(12分)

解法二：空间向量解法：以C₁为原点，如右图建立空间直角坐标系.

(1)设C₁D=a(0≤a≤4),依题意有：

D(0，0，a),A(2，0，4),B(0，2，4),C(0，0，4),C₁(0，0，0)，

A₁(2，0，0)，B₁(0，2，0)                  …………………(2分)

因为M、N分别为△ABD，△A₁B₁D的重心.

所以M，

∵,∴MN⊥BC.                             …………………(4分)

(2)因为平面ABC的法向量n₁=(0，0，-1),设平面ABD的法向量n₂=(x₁，y₁，z₁).

令x₁=1n₂=,设二面角C－AB－D为θ，则由tanθ=，

因此cosθ= (舍)或a=2,

                                                                                               ………………(6分)

设平面A₁B₁D的法向量为n₃=(x,y,z),则

 令x=1有n₃=1(1，1，1)，

设C₁到平面A₁B₁D的距离为d，则d=.…………………(8分)

(3)若点C在平面ABD上的射影正好为M，则，

即()?(-2，0，a-4)=0(舍)或a=2，……(10分)

因此D为CC₁的中点，根据对称性可知C₁在平面A₁B₁D的射影正好为N. …(12分)

19.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为ξ，η分钟，则他们的分布列为；

甲旅客                                                 乙旅客

ξ   10    30       50           η    10    30    50     70      90

P    

易知Eξ=10×，                            …………(8分)

∴Eη=,…………(10分)

∴Eξ<Eη，旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多.

答：旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多.                              …………(12分)

20.(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0a=0或a=4,,

  当a=0时，函数f(x)=x²在(0，+∞)上递增，故不存在0<x₁<x₂,使得不等式f(x₁)>f(x₂)成立.

                                                                                                  …………(2分)

  综上，得a=4，f(x)=x²-4x+4,∴S_n=n²-4n+4,∴a_n=S_n-S_n-1=………(5分)

  (2)要使=2，可构造数列b_n=n-k, …………………………………………(6分)

 ∵对任意的正整数n都有b_n<a_n,

 ∴当n≥2时，n-k<2n-5恒成立且1-k<1,即n>5-k恒成立且k>0,

 即                            ……………………………………(8分)

 又b_n≠0,∴k∈N*，∴b_n=n-,等等.                     ……………………………………(9分)

(3)解法一：由题设c_n=,

∵n≥3时，c_n+1-c_n=∴n≥3时，数列{c_n}递增，

                                                                                        …………………………(11分)

∵a₄=-，可知a₄?a₅<0,即n≥3时，有且只有1个变号数；

又∵c₁=-3,c₂=5,c₃=-3, 即c₁?c₂<0,c₂?c₃<0, ∴此处变号数有2个.

综上得数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3.               …………………………(13分)

解法二：由题设c_n=,

n≥2时，令c_n?c_n+1<0或n=4；

                                                                                        …………………………(11分)

又∵c₁=-3,c₂=5,∴n=1时也有c₁?c₂<0.

综上得数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3.               …………………………(13分)

21.如右图，连结MO交CC₁于E，连结DE，延长DA，CN交于Q，连结OQ交AM于P，则PQ为所求的线段易得，………………(2分)

 在Rr△PMO中，可得到

PO=，

故PQ=2PO=.                                                          ………………………(4分)

(2)过T作TE⊥DD₁于E，过T作TF⊥AA₁于F，

⊥平面TEF,故AA₁⊥EFTF∥PT，

在Rt△TFE中，TF²=TE²=TE²-1=PT²TE=PT

故T点的轨迹是以P为焦点，以AA₁为准线的抛物线，(7分)

以过P点且垂直AA₁的直线为x轴，以P点到AA₁

的垂线段的中点为原点，建立直角坐标系，设抛物线

的方程y²=2px(p>0),由于P咪到AA₁的距离为，

∴曲线K的方程为y²=                                         ……………(9分)

(3)假设抛物线与圆有交点，设交点为G，则∠PGB为直角，易得PB²==，且B点在抛物线内部，

故PG²+GB²+，                                                            …………………(11分)

又PG²+GB²≥

过G作GH⊥AA₁，则PG=HG，

∴PG²+GB²≥矛盾，故交点G不存在，于是以PB为直径的圆与曲线K没有交点.                              ……………………(14分)