摘要:1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a.作=.=.则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫与的夹角, 说明:(1)当θ=0时.与同向, (2)当θ=π时.与反向, (3)当θ=时.与垂直.记⊥, (4)注意在两向量的夹角定义.两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°. (2)数量积的概念 已知两个非零向量与.它们的夹角为.则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积.规定, 向量的投影:︱︱cos=∈R.称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影, (3)数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 (4)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系:. ②乘法公式成立 , , ③平面向量数量积的运算律 交换律成立:, 对实数的结合律成立:, 分配律成立:. ④向量的夹角:cos==. 当且仅当两个非零向量与同方向时.θ=00.当且仅当与反方向时θ=1800.同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 (5)两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量.则·=. (6)垂直:如果与的夹角为900则称与垂直.记作⊥. 两个非零向量垂直的充要条件:⊥·=O.平面向量数量积的性质. (7)平面内两点间的距离公式 设.则或. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为..那么(平面内两点间的距离公式)

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材料:采访零向量

  W:你好!零向量.我是《数学天地》的一名记者,为了让在校的高中生更好了解你,能不能对你进行一次采访呢?

  零向量:当然可以,我们向量王国随时恭候大家的光临,很乐意接受你的采访,让高中生朋友更加了解我,更好地为他们服务.

  W:好的,那就开始吧!你的名字有什么特殊的含义吗?

  零向量:零向量就是长度为零的向量,它与数字0有着密切的联系,所以用0来表示我.

  W:你与其他向量有什么共同之处呢?

  零向量:既然我是向量王国的一个成员,就具有向量的基本性质,如既有大小又有方向,在进行加、减法运算时满足交换律和结合律,还定义了与实数的积.

  W:你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢?

  零向量:首先,我的方向是不定的,可以与任意的向量平行.其次,我还有其他一些向量所没有的特殊待遇:如我的相反向量仍是零向量;在向量的线性运算中,我与实数0很有相似之处.

  W:你有如此多的荣耀,那么是否还有烦恼之事呢?

  零向量:当然有了,在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意,如平行向量的定义,向量共线定理,两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼,在此我向大家真诚地说一声:对不起,这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.

  W:OK!采访就到这里吧,非常感谢你的合作,再见!

  零向量:Bye!

阅读上面的材料回答下面问题.

应用零向量时应注意哪些问题?

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