摘要：37．(命题人:南通中学赵栋.审题人:南通中学杨建楠.原创) 设定义在上的函数的图象为C.C的端点为点A.B.M是C上的任意一点.向量...若.记向量.现在定义“函数在上可在标准k下线性近似 是指恒成立.其中k是一个人为确定的正数． (1)证明:, (2)请你给出一个标准k的范围.使得[0.1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似. [解析](1)由题意.x1≤x≤x2.即x1≤x1+(1-)x2≤x2.∴ x1- x2≤(x1-x2)≤0． ∵ x1- x2<0.∴ 0≤≤1． (2)由=+(1-).得=． 所以B.N.A三点在一条直线上． 又由(1)的结论.N在线段AB上.且与点M的横坐标相同． 对于 [0.1]上的函数y=x2.A. 则有||= x -x2 =.故． 对于[0.1]上的函数y=x3.则有= x-x3= g(x)． 在(0.1)上. g′(x)= 1-3 x2. 可知在(0.1)上y= g(x)只有一个极大值点x=. 所以函数y= g(x)在(0.)上是增函数;在(.1)上是减函数． 又g()=.故[0.]． 经过比较.<.所以取k[.).则有函数y=x2在[0.1]上可在标准k下线性近似.函数y=x3在[0.1]上不可在标准k下线性近似．

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