21．对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N)．对自然数k.规定{△kan}为{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-——青夏教育精英家教网——

摘要：21．对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N)．对自然数k.规定{△kan}为{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an)． (1)已知数列{an}的通项公式an=n2+n (n∈N).试判断{△an}.{△2an}是否为等差或等比数列.为什么? (2)若数列{an}首项a1=1.且满足.求数列{an}的通项公式, 中数列{an}.是否存在等差数列{bn}.使得b1C+ b2C+-+ bnC= an对一切自然n∈N都成立?若存在.求数列{bn}的通项公式,若不存在.则请说明理由．

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（2011•东城区模拟）对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

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对数列{a_n}，规定{Va_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定{V^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（规定V⁰a_n=a_n）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判断{Va_n}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

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对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n} 为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为

．
①△a_n=2n+2；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为a_n=n²+n；
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

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8、对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N），，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N），求数列{a_n}的通项公式．
（3）（理）对（2）中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

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（2012•桂林一模）对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．规定{△²a_n}为{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式．

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