摘要：解:(1)由已知可设M(-c.y). 则有+=1. ∵M在第二象限.∴M(-c.). 又由AB∥OM.可知kAB=kOM. ∴-=-.∴b=c.∴a=b. ∴e==. (2)设|F1Q|=m.|F2Q|=n. 则m+n=2a.mn＞0.|F1F2|=2c.a2=2c2. ∴cos∠F1QF2= ==-1 =-1≥-1=-1=0. 当且仅当m=n=a时.等号成立. 故∠F1QF2∈［0.］. (3)∵CD∥AB.kCD=-=-. 设直线CD的方程为y=-(x+c). 即y=-(x+b). 消去y.整理得 则 +=1. y=-(x+b). (a2+2b2)x2+2a2bx-a2b2=0. 设C(x1.y1).D(x2.y2).∵a2=2b2. ∴x1+x2=-=-=-b. x1·x2=-=-=-. ∴|CD|=|x1-x2| =· =·==3. ∴b2=2.则a2=4. ∴椭圆的方程为+=1.
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已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
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