摘要： (Ⅰ) . (Ⅱ)当时. 令有. 当x变化时的变化情况如下表: 由表可知: ( + 0 - 增 极大值 减 当时取极大值. (Ⅲ)当时 考虑到:时.不等式等价于-(1) 所以只要用数学归纳法证明不等式(1)对一切都成立即可 (i)当时.设 . 故.即 所以.当时.不等式(1)都成立 (ii)假设时.不等式(1)都成立.即 当时设 有 故为增函数. 所以..即. 这说明当时不等式(1)也都成立. 根据对一切都成立. 故原不等式对一切都成立. 6 复习建议
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已知函数
的最小值为0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若对任意的
有
≤
成立，求实数
的最小值；
（Ⅲ）证明
（
）.
【解析】(1)解：
的定义域为
由
，得
当x变化时，
，的变化情况如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
极小值 |
|
因此，在
处取得最小值，故由题意
，所以
（2）解：当
时，取
，有
，故时不合题意.当
时，令
，即
令
，得
①当
时，
，
在
上恒成立。因此
在
上单调递减.从而对于任意的
，总有
，即
在上恒成立，故符合题意.
②当
时，
，对于
，
，故在
上单调递增.因此当取时，
，即
不成立.
故不合题意.
综上，k的最小值为
.
（3）证明：当n=1时，不等式左边=
=右边，所以不等式成立.
当
时，
在（2）中取
，得
，
从而
所以有
综上，
，
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