摘要：双曲线的两个顶点为,.与y轴平行的直线交双曲线于P1.P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

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(1)证明无论P点在什么位置，总有||²=|·|(O为坐标原点）；

(2)若以OP为边长的正方形面积等于以双曲线实、虚轴长为边长的矩形的面积，求双曲线离心率的取值范围.

设等轴双曲线(a＞0)的两个顶点为A，B，P是双曲线上异于顶点的一点，自P向x轴作垂线其垂足为Q，求证：∠PAQ＋∠PBQ＝．

设双曲线C₁的方程为 $数学公式$ （a＞0，b＞0），A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C₁上的任意一点，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分别为A、B，AQ与BQ交于点Q．
（1）求Q点的轨迹C₂方程；
（2）设C₁、C₂的离心率分别为e₁、e₂，当 $数学公式$ 时，求e₂的取值范围．

设双曲线C1的方程为（a＞0，b＞0），A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分别为A、B，AQ与BQ交于点Q．（1）求Q点的轨迹C2方程；（2）设C1、C2的离心率分别为e1、e2，当时，求e2的取值范围．