摘要：8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 变式1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R.即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R. ∴应有 Þ a > 1. ∴ 实数 a 的取值范围是 ． (II) 函数 f (x) 的值域为 R.即a x 2 + 2x + 1 能够取 的所有值． 1° 当 a = 0 时.a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求, 2° 当 a ≠ 0 时.应有 Þ 0 < a≤1． ∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ． 变式2: 解法一: 在上恒成立.即在上恒成立． ⑴. , ⑵.． 综上所述． 解法二: ⑴当.即时.应有. 即.不存在, ⑵当.即时.应有. 即., ⑶当.即时.应有.即 . 综上所述． 变式3: 证明:(I) 依题意.f = f (1)≥0.f (2 + cos p) = f (1)≤0. ∴ f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = -1. 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*) ∵ f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2-(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0 Þ (1 + cos b ) [c-(2 + cos b )]≥0.对任意 b 成立． ∵ 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b . ∴ c≥(2 + cos b )max = 3． 得:f (sin a ) = sin 2a-(c + 1) sin a + c. 设 t = sin a .则g(t) = f (sin a ) = t 2-(c + 1) t + c.-1≤t≤1. 这是一开口向上的抛物线.对称轴为 t = . 由 (II) 知:t≥= 2. ∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数． ∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8. ∴ c = 3 ∴ b = -c-1 = -4．
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．
，(a≠0)
．
，(a≠0)已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若对一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
当
时
单调递减；当
时
单调递增，故当
时，
取最小值
于是对一切
恒成立，当且仅当
. ①
令
则
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
故当
时，
取最大值
.因此，当且仅当
时，①式成立.
综上所述，
的取值集合为
.
（Ⅱ）由题意知，
令
则
令
，则
.当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.故当
，
即
从而
，
又
所以
因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
使
即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
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