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设椭圆 
：
（
）的一个顶点为
，
，
分别是椭圆的左、右焦点，离心率
，过椭圆右焦点
的直线 
与椭圆 
交于
，
两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线 ，使得
，若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由；
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。（1）中椭圆的顶点为
，即
又因为
，得到
，然后求解得到椭圆方程（2）中，对直线分为两种情况讨论，当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，联立方程组，结合得到结论。
解：（1）椭圆的顶点为，即
，解得，
椭圆的标准方程为
--------4分
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意． --------5分
②当直线斜率存在时，设存在直线为
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直线的方程为
或
即
或
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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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已知曲线C:
(m∈R)
（1） 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2） 设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。
【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得
，所以m的取值范围是
(2)当m=4时，曲线C的方程为
，点A,B的坐标分别为
，
由
，得
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以
即
设点M，N的坐标分别为
，则
直线BM的方程为
，点G的坐标为
因为直线AN和直线AG的斜率分别为
所以
即
,故A，G，N三点共线。
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某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下：
| 品牌 | 甲 | 乙 | |||||
| 首次出现故障时间 x年 |  |  |  |  |  | | |
| 空调数量（台） | 1 | 2 | 4 | 43 | 2 | 3 | 45 |
| 每台利润（千元） | 1 | 2 | 2.5 | 2.7 | 1.5 | 2.6 | 2.8 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X1，生产一台乙品牌空调的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。 查看习题详情和答案>>
在区间
上存在极值，求实数a的取值范围；
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围.
，其定义域为
，则
令
，
，
时，
；当
时，
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减，
函数
上存在极值，
，解得
（4分）
，则
，
，即
在
上单调递增， （7分）
，从而
，故
在
（8分）
恒成立，即
，
，则
， （9分）
，
（12分）
。