摘要：18．本小题主要考查抛物线的方程与性质.抛物线的切点与焦点.向量的数量积.直线与抛物线的位置关系.平均不等式等基础知识.考查综合分析问题.解决问题的能力．本小题满分14分． 解:(I)设切点．由.知抛物线在点处的切线斜率为.故所求切线方程为． 即． 因为点在切线上． 所以..． 所求切线方程为． (II)设.． 由题意知.直线的斜率存在.由对称性.不妨设． 因直线过焦点.所以直线的方程为． 点的坐标满足方程组 得. 由根与系数的关系知 ． 因为.所以的斜率为.从而的方程为． 同理可求得． ． 当时.等号成立．所以.四边形面积的最小值为．
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已知点
（
）,过点
作抛物线
的切线，切点分别为
、
（其中
）．
（Ⅰ）若
，求
与
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆
与直线
相切，求圆的方程；
（Ⅲ）若直线的方程是
，且以点为圆心的圆与直线相切，
求圆面积的最小值．
【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。
中∵直线
与曲线
相切，且过点
，∴
，利用求根公式得到结论先求直线
的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。
（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即
，借助于函数的性质圆面积的最小值
（Ⅰ）由
可得，
． ------1分
∵直线与曲线相切，且过点，∴，即
，
∴
，或
， --------------------3分
同理可得：
，或
----------------4分
∵，∴
，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，则的斜率
，
∴直线的方程为：
，又
，
∴
，即
． -----------------7分
∵点到直线的距离即为圆的半径，即
，--------------8分
故圆的面积为
． --------------------9分
（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即， ………10分
∴
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故圆面积的最小值．
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