摘要：已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1.(其中.a.θ∈R均为常数) (1)求函数y=f(x)的解析式, (2)利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}.方法如下: 对于给定的定义域中的x1.令x2= f(x1).x3= f(x2).-.xn= f(xn-1).- 在上述构造过程中.如果xi在定义域中.构造数列的过程继续下去,如果xi不在定义域中.则构造数列的过程停止. ① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}.求a的取值范围, ② 如果取定义域中的任一值作为x1.都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}.求a实数的值. 解:(1)令 则 ①×②.并整理.得 y=. ∴y=f(x) =. (x≠a). ------------4分 (2)①根据题意.只需当x≠a时.方程f(x) =x有解. 亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解. 将x=a代入方程左边.得左边为1.故方程不可能有解x=a. 由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0.得 a≤-3或a≥1. 即实数a的取值范围是. ----------9分 ②根据题意.=a在R中无解. 亦即当x≠a时.方程(1+a)x=a2+a-1无实数解. 由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解. 所以对于任意x∈R.方程(1+a)x=a2+a-1无实数解. ∴ a= -1即为所求a的值. --------------14分

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