摘要：(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为 由P在椭圆上.得 由.所以 ---------3分 证法二:设点P的坐标为记 则 由 证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得.即 由.所以----------3分 (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为 当时.点(.0)和点(-.0)在轨迹上. 当|时.由.得. 又.所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中..所以有 综上所述.点T的轨迹C的方程是----------7分 解法二:设点T的坐标为 当时.点(.0)和点(-.0)在轨迹上. 当|时.由.得. 又.所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为().则 因此 ① 由得 ② 将①代入②.可得 综上所述.点T的轨迹C的方程是--------7分 ③ ④ (Ⅲ)解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是 由③得.由④得 所以.当时.存在点M.使S=, 当时.不存在满足条件的点M.---------11分 当时.. 由. . .得 解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是 ③ ④ 由④得 上式代入③得 于是.当时.存在点M.使S=, 当时.不存在满足条件的点M.---------11分 当时.记. 由知.所以----14分
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设椭圆
的左、右顶点分别为
，点
在椭圆上且异于两点，
为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
与
的斜率之积为
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
，证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)解：设点P的坐标为
.由题意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以椭圆的离心率
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为
，设点P的坐标为.
由条件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.
由P在椭圆上，有
因为，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
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