摘要：19． 如图.在四棱锥中.侧棱PA⊥底面ABCD. AD∥BC.∠ABC=..． (Ⅰ) 求点D到平面PBC的距离, (Ⅱ) 求二面角的大小． 解:(Ⅰ)如图.在四棱锥中. ∵BC∥AD.从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离. ∵∠ABC=.∴AB⊥BC. 又PA⊥底面ABCD.∴PA⊥BC. ∴BC⊥平面 PAB.------2分 ∴平面PAB⊥平面PBC.交线为PB.过A作AE⊥PB.垂足为E.则AE⊥平面PBC. ∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而.∴．---5分 即点D到平面PBC的距离为．------6分 (Ⅱ) ∵PA⊥底面ABCD.∴平面PAD⊥底面ABCD. 引CM⊥AD于M.MN⊥PD于N.则CM⊥平面PAD. ∴MN是CN在平面PAD上的射影. 由三垂线定理可知CN⊥PD. ∴∠CNM是二面角的平面角．----9分 依题意.. ∴.∴. 可知.∴. .∴二面角的大小为-- 12分 解法二:如图, A为原点.分别以AD.AB.AP为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系. (Ⅰ)依题意.. ∴. ∴. 则... . ∴... 设平面PBC的一个法向量为.则 令.得. 则点D到平面PBC的距离等于．-----6分 (Ⅱ) ∵AB⊥PA.AB⊥AD.∴AB⊥底面PDA.∴平面PDA的一个法向量为. 设平面PDC的一个法向量为. ∵..∴ 令.得.∴. ∵二面角是锐二面角.∴二面角的大小为．--12分

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