(本小题14分)设二次函数的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式恒成立．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）设在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围.

设二次函数的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式恒成立．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）设在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围.

设二次函数的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式恒成立．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）设在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围.

（本小题满分14分）

已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设函数，求在区间上的最小值；

（Ⅲ）探究：函数的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.